Differential ekvation - Fourier serie

Hej hej,

Jag har denna uppgift:

Jag känner att jag vill bli bättre på komplexa fourier serie, därför väljer jag den metod. Den verkar även vara en stor del utav kursen. (Anledning till att jag nämner detta är att dem inte använder detta i facit, men i snarlika uppgifter?)

Jag är rätt lost och kommer behöva hjälp på vägen. Här kommer iallafall mitt försök.

$f (t) ~ c_{0} + \sum_{n = t}^{\infty} c_{n} e^{i n \frac{T}{2 π} t}, T = 2 π, = > f (t) ~ c_{0} + \sum_{n = t}^{\infty} c_{n} e^{i n t}, c_{0} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} t d t = \frac{π}{4} c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} t e^{- i n t} d t = \frac{1}{2 π} ({[- \frac{t}{i n} e^{^{- i n t}}]}^{π}_{0} + \int_{0}^{π} \frac{e^{^{- i n t}}}{i n} d t) = \frac{1}{2 π} (- \frac{π}{i n} e^{- i n π} + {[\frac{e^{- i n t}}{n^{2}}]}_{0}^{π}) = \frac{1}{2 π} (- \frac{π}{i n} e^{- i n π} + \frac{e^{- i n π}}{n^{2}} - \frac{1}{n^{2}}) = = \frac{1}{2 π} (- \frac{π}{i n} (\cos (n π) - i \sin (n π)) + \frac{1}{n^{2}} (\cos (n π) - i \sin (n π)) - \frac{1}{n^{2}}), i \sin (n π) = 0 f ö r a l l a n, = \frac{1}{2 π} (- \frac{π}{i n} (\cos (n π) + \frac{1}{n^{2}} (\cos (n π) - \frac{1}{n^{2}}), \cos (n π) = {(- 1)}^{n}, = \frac{1}{2 π} (- \frac{π {(- 1)}^{n}}{i n} + \frac{({- 1)}^{n}}{n^{2}} - \frac{1}{n^{2}}) = \frac{({- 1)}^{n} - 1}{2 π n^{2}} - \frac{{(- 1)}^{n}}{2 i n} = \frac{({- 1)}^{n} - 1}{2 π n^{2}} + \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2 i n} f (t) = \frac{π}{4} + \sum_{n = t}^{\infty} (\frac{({- 1)}^{n} - 1}{2 π n^{2}} + \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2 i n}) e^{^{i n t}}$

Ansätt en partikuläransatts: $y_{p} = {\sum d_{n} e^{i n π t}}_{n = - \infty}^{\infty}$ , där:

$d_{n} P (i w_{n}) = c_{n}, w_{n} = i n t y T = 2 π y_{p}^{''} + 4 y_{p} = d_{0} + {\sum d_{n} e^{i n π t}}_{n = - \infty}^{\infty} = > P ({iw}_{n}) = {(in)}^{2} + 4 = 4 - n^{2} d_{n} (4 - n^{2}) = c_{n} d_{n} = \frac{c_{n}}{4 - n^{2}} = > d_{n} = \frac{({- 1)}^{n} - 1}{2 π n^{2} (4 - n^{2})} + \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2 i n (4 - n^{2})} 4 d_{0} = c_{0} = > d_{0} = \frac{π}{16} y_{p} = \frac{π}{16} + \sum_{n = - \infty}^{\infty} (\frac{({- 1)}^{n} - 1}{2 π n^{2} (4 - n^{2})} + \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2 i n (4 - n^{2})}) e^{^{i n t}}$

homogen lösning & svar:

$r^{2} + 4 = 0 = > r = \pm 2 i y_{h} = A \sin (2 t) + B \cos (2 t) s v a r : y = y_{h} + y_{p} = A \sin (2 t) + B \cos (2 t) + \frac{π}{16} + \sum_{n = - \infty}^{\infty} (\frac{({- 1)}^{n} - 1}{2 π n^{2} (4 - n^{2})} + \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2 i n (4 - n^{2})}) e^{^{i n t}}$

svaret är:

Lite fel i partikulrlösningen, men vart kommer t/8 cos(2t) ifrån??

Bumpar, har samma problem!

Problemet har att göra med vad som händer när $n = 2$
I svaret kan du se att kriteriet $n \neq 2$ finns med i summan.
Tittar man närmare på ekvationen:

$d_{n} (4 - n^{2}) = c_{n}$

så ser man att om $c_{2} \neq 0$ så finns ingen lösning för $d_{2}$ .
Det betyder att partikuläransatsen är otillräcklig.

Ett sätt att gå runt problemet är att låta just $d_{2}$ vara en funktion av $t$ istället för en konstant.
Det kommer ge uttrycket:

$d_{2}'' + 4 i \cdot d_{2}' = c_{2}$

Eftersom $c_{2} = - \frac{1}{4 i}$ så blir den enklaste lösningen $d_{2} = \frac{t}{16}$

Sen är det bara att skriva detta specialbidrag utanför summan.

$d_{2} \cdot (e^{2 i t} + e^{- 2 i t}) = 2 d_{2} \cos (2 t) = \frac{t}{8} \cos (2 t)$

Svara