Differential Ekvation - 1:a ordningen

Du har gjort ett slarvfel på slutet. Det skall vara:

$\dfrac{1+y}{1-y}=3e^{\frac{2x^3}{3}}$

istället för:

$\dfrac{1+y}{1-y}=e^{\frac{2x^3}{3}}+3$

Därefter rekommenderar jag att du multiplicerar båda led med $1-y$.

Okej gjorde det och fick fram att Y = e^((2/3)*(x^3))*(3-3x) - 1! 👍🏻

Nu går det lite fort fram. Du får tyvärr fel svar. Gör det hela steg för steg:

1. Multiplicera båda led med $1-y$.
2. Samla alla termer innehållande $y$ i ekvationens ena led.
3. Bryt ut $y$.
4. Dividera för att få $y$ ensamt.

EDIT: Jag ser även nu att du måste tänka efter lite mer noggrant innan du tar bort absolutbeloppen. Om du bara tar bort dem antar du nämligen att $-1\leq y\leq1$, men detta stämmer inte med begynnelsevillkoret $y(0)=2$. Vad måste du göra istället?

Testade göra det så som du nämnde det och får nu att y = 1 + e^((2/3)*x^3) / 1 - e^((2/3)*x^3) ? Har jag gjort rätt?

Teckenbyte; ska vara - ovanför och + nedanför*

Ja, nu blev det (nästan) rätt när du löste ut.

Däremot måste vi kika lite på absolutbeloppet innan det.

Vi har ju egentligen:

$|\dfrac{1+y}{1-y}|=3e^{\frac{2x^3}{3}}$

Om $-1\leq y\leq1$ (när $\frac{1+y}{1-y}$ är positivt) kan vi bara ta bort absolutbeloppet, men så är ju inte fallet! Vi har $y(0)=2$, vilket inte ligger i det intervallet. Alltså måste vi ha ett minustecken eftersom absolutbeloppet byter tecken:

$-\dfrac{1+y}{1-y}=3e^{\frac{2x^3}{3}}$

Vad får du då om du löser ut för $y$?

Hej!

Jag håller med dig när du formulerar ekvationen som

    $\int \frac{1}{(1-y)(1+y)}\,dy = \int x^2 \, dx \iff \frac{1}{2}\cdot \int\frac{1}{1-y} + \frac{1}{1+y} \, dy = \frac{x^3}{3} + C.$

Sedan beräknar du $y$-integralerna till

    $\int\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1+y}\,dy = -\ln |1-y|+\ln|1+y| = \ln |\frac{1+y}{1-y}|,$

vilket ger

    $\ln|\frac{1+y}{1-y}| = \frac{2x^3}{3} + C,$

där konstanten $C$ bestäms av villkoret $y(0) = 2$ till $\ln|\frac{1+2}{1-2}| = C \iff C = \ln 3$ så att differentialekvationens lösning implicit ges av

    $\ln |\frac{1+y}{1-y}| - \ln 3 = \frac{2x^3}{3} \iff |\frac{1+y}{1-y}| = 3 \cdot e^{2x^3/3}.$

För att få en explicit lösning gäller det att lösa $y$ från ekvationen

    $|\frac{1+y}{1-y}| = A,$

där $A$ betecknar ett positivt tal (som är $3e^{2x^3/3}$, men som för tillfället är irrelevant för att lösa ut $y$).

Fall 1. Kvoten $(1+y)/(1-y)$ är positiv, vilket inträffar precis då $-1<><>$ Då är ekvationen $(1+y)/(1-y) = A \iff 1+y = A-Ay \iff (1+A)y = A-1 \iff y = (A-1)/(A+1) \iff y = 1 - 2/(A+1).$ Men eftersom din ekvation kräver att y(0) = 2 och talet 2 ligger utanför det tillåtna området för y så är detta fall inte aktuellt för dig.

Fall 2. Kvoten $(1+y)/(1-y)$ är negativ, vilket inträffar precis då $y>1$ eller då $y<>$. Då är ekvationen

    $(1+y)/(1-y) = -A \iff 1+y = Ay-A \iff 1+A = (A-1)y \iff y = (A+1)/(A-1) \iff y = 1 + 2/(A-1).$

Resultat: Lösningen till din differentialekvation är

    $y(x) = 1 + \frac{2}{3e^{2x^3/3}-1} \, \quad x \geq 0.$

Tusen tack för all hjälp jag har fått!