Differ.ekvation (Matematik/Matte 5)

Hej!

Finn en polynomfunktion som går genom de tre givna punkterna.
Derivera polynomfunktionen upprepade gånger och se om du kan uttrycka polynomfunktionen i termer av dess derivator på något sätt. Detta sätt ger dig en differentialekvation som polynomfunktionen uppfyller.

Albiki

Hej, med polynomfunktion menar du då att det ska vara på formen ax^2 + bx +c? Hur ska jag göra det? KAn endast hitta en rät linje på formen y= kx+m, fungerar det?

Hej!

En rät linje fungerar inte, eftersom den bestäms av två punkter; du har tre punkter. Ett andragradspolynom bestäms av tre punkter och är därför mer lämpligt att prova.

$y(x) = (x-2) \cdot (ax+b)$ .

Du ser att $y(2) = 0$ och $y(0) = -2b$ samt $y(1) = -(a+b)$ vilket talar om för dig att $a = -0.5$ och $b = -0.5$ så att polynomfunktionen är

$y(x) =-0.5(x^2-x-2).$

Dess derivator är $y'(x) = -x + 0.5$ och $y''(x) = -1.$ Du ser att $y'(0) = 0.5.$

En möjlig lösning på problemet är differentialekvationen

$y''(x) = - 1$ med villkoren $y'(0) = 0.5$ och $y(0) = 1.$

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
En rät linje fungerar inte, eftersom den bestäms av två punkter; du har tre punkter. Ett andragradspolynom bestäms av tre punkter och är därför mer lämpligt att prova.
    $y(x) = (x-2) \cdot (ax+b)$ .
Du ser att $y(2) = 0$ och $y(0) = -2b$ samt $y(1) = -(a+b)$ vilket talar om för dig att $a = -0.5$ och $b = -0.5$ så att polynomfunktionen är
    $y(x) =-0.5(x^2-x-2).$
Dess derivator är $y'(x) = -x + 0.5$ och $y''(x) = -1.$ Du ser att $y'(0) = 0.5.$
En möjlig lösning på problemet är differentialekvationen
    $y''(x) = - 1$ med villkoren $y'(0) = 0.5$ och $y(0) = 1.$
Albiki

Jag förstår inte den här biten:

"

Dess derivator är $y'(x) = -x + 0.5$ och $y''(x) = -1.$ Du ser att $y'(0) = 0.5.$

En möjlig lösning på problemet är differentialekvationen

$y''(x) = - 1$ med villkoren $y'(0) = 0.5$ och $y(0) = 1.$ "

Optikern skrev :
Albiki skrev :
Hej!
En rät linje fungerar inte, eftersom den bestäms av två punkter; du har tre punkter. Ett andragradspolynom bestäms av tre punkter och är därför mer lämpligt att prova.
    $y(x) = (x-2) \cdot (ax+b)$ .
Du ser att $y(2) = 0$ och $y(0) = -2b$ samt $y(1) = -(a+b)$ vilket talar om för dig att $a = -0.5$ och $b = -0.5$ så att polynomfunktionen är
    $y(x) =-0.5(x^2-x-2).$
Dess derivator är $y'(x) = -x + 0.5$ och $y''(x) = -1.$ Du ser att $y'(0) = 0.5.$
En möjlig lösning på problemet är differentialekvationen
    $y''(x) = - 1$ med villkoren $y'(0) = 0.5$ och $y(0) = 1.$
Albiki
Jag förstår inte den här biten:
"
Dess derivator är $y'(x) = -x + 0.5$ och $y''(x) = -1.$ Du ser att $y'(0) = 0.5.$
En möjlig lösning på problemet är differentialekvationen
    $y''(x) = - 1$ med villkoren $y'(0) = 0.5$ och $y(0) = 1.$ "

Vad är det som du inte förstår?

Är det derivatan $y'(x)$ ? Andraderivatan? Att $y'(0) = 0.5$ ?

Du måste vara mer specifik!

Jag förstår "matematiken", men jag förstår inte varför du gör som du gör. T.ex. varför söker du y'(0) = 0.5?

Och kan du förklara mer djupgående med text hur du fick fram differentialekvationen, samt vad du menar med "villkoren y'(0) =0.5 och y(0)=1".

Jag uppskattar att du skrev hur man löser problemet, men jag vill också förstå varför det blir som det blir så att jag också lär mig. :)

Optikern skrev :
Jag förstår "matematiken", men jag förstår inte varför du gör som du gör. T.ex. varför söker du y'(0) = 0.5?
Och kan du förklara mer djupgående med text hur du fick fram differentialekvationen, samt vad du menar med "villkoren y'(0) =0.5 och y(0)=1".

Jag uppskattar att du skrev hur man löser problemet, men jag vill också förstå varför det blir som det blir så att jag också lär mig. :)

Hej!

Besvara några frågor:

Är $y''(x) = -1$ en differentialekvation?
När man integrerar ekvationen får man $y'(x) = -x + A$ där $A$ är en konstant?
Konstanten bestäms om man vet att $y'(0) = 0.5$ ?
När man integrerar ekvationen ännu en gång får man $y(x) = -0.5x^2+0.5x+B$ där $B$ är en konstant?
Konstanten bestäms om man vet att $y(0) = 1$ ?

1. Nej, har lärt mig att en differentialekvation oftast skrivs som y' - y= 0 på den formen.

2. Hur menar du? A är en konstant..

3. Ja, man kan ta reda på A om villkoret finns.

4. Ja

5. Ja.

Så differentialekvationen är -0.5x^2 + 0.5x + 1.

Jag kan inte sätta fingret på vad men det finns något som fortfarande är dimmigt för mig.

Hej!

Är $y''(x) +y'(x) + y(x) + 1 = 0$ en differentialekvation?

Ja, av andra ordningen.