DiffEkvation y'=5sin 3x

Om du deriverar $5\cos(\frac{x^3}{3})+C$ får du verkligen $5\sin(3x)$ då?

Derivatan av $\cos(3x)$ är $-3\cdot \sin(3x)$

Det du ska beräkna är alltså den obestämda integralen $\int 5\sin(3x)\, dx$ och sedan bestämma konstanten så att $y(\frac{\pi}{3})=1$

Nja, nu blev det lite galet.

Vi vill ju finna en primitiv funktion till $5\sin(3x)$. Den primitiva funktionen till $5\sin(x)$ är ju $-5\cos(x)$, så vi kanske kan tänka oss att den primitiva funktionen till $5\sin(3x)$ är $-5\cos(3x)$, men riktigt så enkelt är det inte.

Om vi deriverar $-5\cos(3x)$ dyker det upp en extra trea utanför enligt kedjeregeln så att vi får $15\sin(3x)$, d.v.s. inte det vi ville ha. Vi får då dela med tre för att kompensera för kedjeregeln. På så vis får vi den primitiva funktionen $-5\cos(3x)/3$. Kontrollderiverar vi får vi mycket riktigt $5\sin(3x)$.

Din sökta primitiva funktion är alltså $-5\cos(3x)/3+C$. Hjälper det?

AlvinB skrev:

Nja, nu blev det lite galet.

Vi vill ju finna en primitiv funktion till $5\sin(3x)$. Den primitiva funktionen till $5\sin(x)$ är ju $-5\cos(x)$, så vi kanske kan tänka oss att den primitiva funktionen till $5\sin(3x)$ är $-5\cos(3x)$, men riktigt så enkelt är det inte.

Om vi deriverar $-5\cos(3x)$ dyker det upp en extra trea utanför enligt kedjeregeln så att vi får $15\sin(3x)$, d.v.s. inte det vi ville ha. Vi får då dela med tre för att kompensera för kedjeregeln. På så vis får vi den primitiva funktionen $-5\cos(3x)/3$. Kontrollderiverar vi får vi mycket riktigt $5\sin(3x)$.

Din sökta primitiva funktion är alltså $-5\cos(3x)/3+C$. Hjälper det?

Denna var lite knepig att förstå. Vill inte vara jobbig men varför får vi en extra trea utanför och varför måste vi dela det med 3?

Så inte y'= -5cos 3$\frac{x^3}{3}$?  Utan $\frac{-5\cos \left(3x\right)}{3}+C$

$y'=5\sin (3x)$. Vi ska finna en funktion y(x), vars derivata är $5\sin (3x)$.

Det innebär att vi måste  lösa integralen $\int 5 \sin(3x)\, dx$.

Det betyder att när vi kontrollderiverar y, ska vi landa i $y'=5\sin (3x)$.

Som du ser, innehåller sinusfunktionen en inre (linjär) funktion 3x. Det är alltså fråga om en sammansatt funktion. Kontrollderiveringen måste därför behandlas med kedjeregeln.

Förslag 1: $y=-5\cos (3x)+C$. Kontroll: $y'=-5(-\sin (3x))\cdot 3=15\sin (3x)$ Fel!

Förslag 2: $y=-\dfrac{5}{3}\cos (3x)+C$. Kontroll: $-\dfrac{5}{3}(-\sin (3x))\cdot 3=5\sin (3x)$. OK!

Slutsats: Vi måste alltså dividera den primitiva funktionen med den inre derivatan, i detta fall 3.

Anm: Metoden fungerar enbart då den inre funktionen är av första grad.

Okej det förklarar tydligt.

Hur gör jag med y(π/3)=1

Sätt in att x=π/3 och beräkna vilket värdet på C måste vara.

Ahh  okej. så y = $-\frac{5}{3}\cos \left(3x\right) +C$ --->  y = $-\frac{5}{3}c\mathrm{os}(3\mathrm{\pi }/3)$ + C

Blir 1,67. Om det ska bli 1 så vet jag inte om det skall vara + C

Nej, fel.

Villkoret betyder  $x=\pi /3$, respektive y=1, sätts in i allmänna lösningen, så att du kan lösa ut C.

dr_lund skrev:

Nej, fel.

Villkoret betyder  $x=\pi /3$, respektive y=1, sätts in i allmänna lösningen, så att du kan lösa ut C.

Hänger inte med. 

$y=-\dfrac{5}{3}\cos 3x+C$ kallas den allmänna lösningen.

Via s.k. villkor bestäms speciella lösningar.

I ditt fall är villkoret $y(\pi /3)=1$. Följ mitt senaste svar och sätt in villkoret i den allmänna lösningen.

Du har tagit fram att den allmänna lösningen till diffekvationen är $y(x)=-\frac{5}{3}\cos(3x)+C$. Du vet att y(π/3)=1så sätt in dessa värden i den allmänna lösningen, d v s lös ekvationen $-\frac{5}{3}\cos(3(\pi/3))+C=1$ m a p C.

$-\frac{5}{3}\cos \left(3(\mathrm{\pi }/3)\right) + C =1$

$-\frac{5}{3}\cos (3*\frac{\mathrm{\pi }}{3})+C=1$ ---> de två treorna går bort. $\cos \left(\mathrm{\pi }\right)$ blir -1.

-$\frac{5}{3}*(-1) +C=1$ ---> $\frac{5}{3}+C=1$ ---> minus med minus blir plus gånger 1 kan man ta bort.

Kvar blir C = 1 - $\frac{5}{3}$ ---> $\frac{1*3-5}{3}$ = C = $\frac{-2}{3}$

Är det korrekt? 

RogTheMan skrev:

$-\frac{5}{3}\cos \left(3(\mathrm{\pi }/3)\right) + C =1$

$-\frac{5}{3}\cos (3*\frac{\mathrm{\pi }}{3})+C=1$ ---> de två treorna går bort. $\cos \left(\mathrm{\pi }\right)$ blir -1.

-$\frac{5}{3}*(-1) +C=1$ ---> $\frac{5}{3}+C=1$ ---> minus med minus blir plus gånger 1 kan man ta bort.

Kvar blir C = 1 - $\frac{5}{3}$ ---> $\frac{1*3-5}{3}$ = C = $\frac{-2}{3}$

Är det korrekt? 

Ja, helt rätt! :-)

Bra. Det betyder att man svarar med

$y=-\dfrac{5}{3}\cos 3x-\dfrac{2}{3}$.

Därmed är vi klara. Bra kämpat!