Diffekvation - Temperatursänkning
I ett hus där värmesystemet plötsligt upphör att fungera är det rimligt att anta att temperatursänkningen per tidsenhet är proportionell mot skillnaden mellan ytter och innertemperatur.
Anta att yttertemperaturen är konstant - 10. Om innertemperaturen var +20 när systemet lade av och +15 efter 2 timmar - vad är tiden efter 24 timmar?
Av texten tyder jag att följande gäller:
T' = - t(Tinne-Tute)
T' = Ti*-t - 10t
Längre än så kommer jag inte riktigt, osäker på hur jag ska tyda problemet.
Om innetemperaturen T(t) är en funktion av tiden t, så har du redan temperaturändring per tidsenhet när du betraktar T'(t). Det behövs inget extra t i formeln. Däremot vet du bara att T'(t) är proportionell mot Tinne - Tute, så vi inför en faktor C, som ska bestämmas. Och Tinne är ju T, så vi behöver inget nytt namn på den.
T' = C(T-Tute)
T(0) = 20
Kan du fortsätta?
Laguna skrev:Om innetemperaturen T(t) är en funktion av tiden t, så har du redan temperaturändring per tidsenhet när du betraktar T'(t). Det behövs inget extra t i formeln. Däremot vet du bara att T'(t) är proportionell mot Tinne - Tute, så vi inför en faktor C, som ska bestämmas. Och Tinne är ju T, så vi behöver inget nytt namn på den.
T' = C(T-Tute)
T(0) = 20
Kan du fortsätta?
Yes. Använde integrerade faktor för att lösa ut en konstant D.
T' - CT = 10C
(e^-CT *T)' = 10C * e^-CT
T = -10 + D*e^CT
Löser för D med T(0) = 20
D =30
Med hjälp av kunskapen att T=15 vid T(2) löser jag för C som är ≈ - 0.09
Får tillslut att temperaturen är - 6.6 efter 24h.
Stort tack!
Har du något tips om hur man ska tolka såna här problem?
Till en början trodde jag tex att konstanten framför skulle vara negativ då temperaturen sjönk. Varför är det inte så i detta fallet?
Schnehest skrev:Till en början trodde jag tex att konstanten framför skulle vara negativ då temperaturen sjönk. Varför är det inte så i detta fallet?
Det som faller exponentiellt är ju skillnaden mellan innertemperaturen och yttertemperaturen, och den förra är högre, dvs. skillnaden är positiv.
Men konstanten C som anger åt vilket håll temperaturen ändras är ju just negativ.
