Diffekvation: nästan 2 (eller inte direkt)

Frågan är självexålanatory :)

Jag hittar $A e^{- 3 x} + B e^{- x}$ , däremot när jag gör min variabelbyte blir det fel.

$z e^{x} = 4 x e^{x} y_{p} = a x + b y'_{p} = a x y'' = 0 0 + 4 a x + 3 a x + 3 b = 4 x a = \frac{4}{7}, b = 0$

som är fel...

Vad är derivatan av $y_{P}' = a x$ , Daja?

f... det blir fortfarande fel, a=4/3

dajamanté skrev:
Frågan är självexålanatory :)
Jag hittar $A e^{- 3 x} + B e^{- x}$ , däremot när jag gör min variabelbyte blir det fel.

Du ska skriva: Ekvationens homogena lösningar är $y_h(x)=Ae^{-3x}+Be^{-x}$ där A och B är godtyckliga reella tal.

$z e^{x} = 4 x e^{x} y_{p} = a x + b y'_{p} = a x y'' = 00 + 4 a x + 3 a x + 3 b = 4 x a = \frac{4}{7}, b = 0$
som är fel...

Du ska skriva: För att finna en partikulärlösning gör jag ansatsen $y_p(x)=(ax+b)e^{x}$ . Insättning i differentialekvationen låter mig identifiera konstanterna $a$ och $b$ .

$\displaystyle y_p^{''}+4y_p'+3y_p=e^{x}(a+b+ax+a)+4e^{x}(a+ax+b)+3e^{x}(ax+b)=\{(3b+4a+4b+2a+b)+(a+4a+3a)x\}e^{x}=4xe^{x}.$

Eftersom $e^{x}$ aldrig är noll kan jag dividera ekvationens båda led med $e^x$ vilket ger

$\displaystyle (6a+8b)+(8a-4)x=0$ .

Detta ska gälla för ALLA TAL $x$ , vilket bara är möjligt om $6a+8b=0$ och $8a-4=0$ det vill säga om $a=0.5$ och $b=-\frac{3}{8}$ . En partikulärlösning till differentialekvationen är därför

$\displaystyle y_p(x)=(0.5x-\frac{3}{8})e^x$ .

Differentialekvationens lösningar är

$$\displaystyle y(x)=Ae^{-3x}+Be{-x}+\frac{1}{8}{4x-3)e^x.$$

DU SKA SKRIVA ALLT DET SOM JAG SKRIVIT.

1: Derivatan av $y_{P}$ är a, inte ax. Smutstvätt får bakläxa.

2: Jag får det till:

$\{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b = - \frac{3}{8} \end{cases}$

Men jag använder inte den metod du använder. När du satt att $y_{P} = a x + b$ , har du redan löst ut $e^{x}$ . Problemet är då att derivatan av $y_{P}$ inte blir a, utan derivatan borde vara $y_{P}' = e^{x} (a x + a)$ , på grund av produktregeln. Jag erkänner min ignorans här, och medger att jag inte har full koll på hur din metod används. Vad görs med z efter att a och b är bestämda?

@Albiki: SIR YES SIR!!!!

Mer seriöst, tack för din tid. Jag förstår inte ansättning $(a+b+ax+a)$ samt $(a+ax+a)$ , jag tänkte att $ax+b$ reducerades till $a$ , och till noll... Men vi kan ta det en annan gång.

@Smutstvätt: Jag ska bara erkänna min total ignorans; jag har uppenbarligen inte koll på min teknik heller så vi bara begräver detta för ett tag.

Språkpolisen informerar!

Begrava. Begräva betyder typ gräva runt om kring, eller klä i grävning (det är inte ett riktigt ord).

dajamanté skrev:
@Albiki: SIR YES SIR!!!!
Mer seriöst, tack för din tid. Jag förstår inte ansättning $(a+b+ax+a)$ samt $(a+ax+a)$ , jag tänkte att $ax+b$ reducerades till $a$ , och till noll... Men vi kan ta det en annan gång.
@Smutstvätt: Jag ska bara erkänna min total ignorans; jag har uppenbarligen inte koll på min teknik heller så vi bara begräver detta för ett tag.

Ansättningen är $y_{P} = (a x + b) e^{x}$ , vars derivata är $y_{P}' = D (a x e^{x} + b e^{x}) = a x e^{x} + a e^{x} + b e^{x}$ , och vars andraderivata är $y_{P}'' = a x e^{x} + 2 a e^{x} + b e^{x}$ . Bryt ut $e^{x}$ , och sätt in i ursprungsdiffen, så klarnar det nog. :)

Svara

Visa senaste svar