Diffekvation (nästan!!)

Ok, så här gjorde jag:

$(1 + x^{2}) y' - 1 - y^{2} = 0 y' = \frac{1 + y^{2}}{(1 + x^{2})} \frac{y'}{1 + y^{2}} = \frac{1}{(1 + x^{2})} \int \frac{d y}{1 + y^{2}} = \int \frac{1}{(1 + x^{2})} a r c \tan y = a r c \tan (x + c)$

Så jag trodde att nästa steg var helt enkelt att sätta tangens framför och behålla $x+c$ , men tyvärr måste vi använda oss av tangens dubbelvinkel formeln, men jag fattar inte varför?

Skall inte sista raden vara arc tan(y) = arc tan(x) + c?

Konstanten $C$ bestäms av villkoret $y(0)=1$ :

$\displaystyle \arctan 1 = C+\arctan 0 \Rightarrow C = \frac{\pi}{4}.$

Det gäller att

$\displaystyle \arctan y(x) = \frac{\pi}{4}+\arctan x$

och additionsformel för tangensfunktion ger

$\displaystyle y(x) = \frac{1+x}{1-x}.$

Kontroll: Derivatan är $y'(x)=\frac{1-x+1+x}{(1-x)^2}$ och differentialekvationens vänstra led är

$\displaystyle(1+x^2)\frac{2}{(1-x)^2}-1-(\frac{1+x}{1-x})^2 = \frac{2+2x^2-1+2x-x^2-1-2x-x^2}{(1-x)^2}=\frac{0}{(1-x)^2}$

vilket är lika med differentialekvationens högra led.

Tack till båda, nu förstår jag.

När vi har hittat $\frac{π}{4}$ det återstod att ersätta den med $arctan(1)$ .

Svara

Visa senaste svar