Diffekvation

Handlar det bara om att ta fram en partikulärlösning till ekvationen?

I så fall skulle jag bara göra en ansats med $y=ke^x$ där $k$ är en konstant eftersom det är vad du har i högerled.

Jag ska hitta alla lösningar till samma ekv med 4ex-8x i svaret. Men det var mest zgrejjen som var svår. 

Jag förstår inte hur svaret kan bli - 2.Menar du y = -2?

Här är hela, jag är inte helt säker på att jag tolkat den rätt. Men allt utom yp2 får jag fram själv.

Hej!

Differentialekvationen kan skrivas $(Ly)(x) = 4e^{x}-8x$ där $L$ betecknar differentialoperatorn $L = (D-2)(D^2+1)$. Operatorn $L$ är linjär vilket medför att om $y_{p1}$ är sådan att

    $(Ly_{p1})(x) = -8x$

och om $y_{p2}$ är sådan att

    $Ly_{p2})(x) = 4e^{x}$

så är linjärkombinationen $y_{p1}+y_{p2}$ sådan att

    $(L(y_{p1}+y_{p2}))(x) = (Ly_{p1})(x)+(Ly_{p2})(x) = -8x + 4e^{x}.$

Det där var verkligen ren grekiska.. Men jag ser ju nu att jag får en lösning genom att anta att z=k. Finns det bara den lösningen?

Micimacko skrev:

Det där var verkligen ren grekiska.. Men jag ser ju nu att jag får en lösning genom att anta att z=k. Finns det bara den lösningen?

 Och nu är det du som skriver rena grekiskan. Vad menar du att du ser att en lösning fås genom att anta att z=k. Vad menar du med k? Konstant?

Ja, som alvin skrev högre upp. 

Hela poängen med "zgrejen" är att man ska ta reda på vilken slags funktion av $x$ den är, och inte följa Alvins råd och anta att den är konstant; om den är konstant så ska du resonera dig fram till detta.

Och hur gör jag det? 

Vem har skrivit texten i bilden med uträkningarna? En lärare, en studiekamrat, eller vad? Den där $z_p$ är främmande för mig, även om jag kan se vad det är som händer.

Albiki skrev:

Hela poängen med "zgrejen" är att man ska ta reda på vilken slags funktion av $x$ den är, och inte följa Alvins råd och anta att den är konstant; om den är konstant så ska du resonera dig fram till detta.

 Fast det är väl lika mycket ett antagande att partikulärlösningen över huvud taget är på formen $ze^x$?

Att göra en ansats på formen $ke^x$ tycker jag är ganska logiskt i detta fall eftersom derivatan av $ke^x$ i sig är $ke^x$ och det då är ganska rimligt att man skulle hitta ett $k$ sådant att VL blir lika med $4e^x$.

Laguna skrev:

Vem har skrivit texten i bilden med uträkningarna? En lärare, en studiekamrat, eller vad? Den där $z_p$ är främmande för mig, även om jag kan se vad det är som händer.

 Det är en gammal tentauppgift med lösningsförslag till.