Diffekvation

För vilka värden på konstanten λ > 0 har randvärdesproblemet
$y^{''} + λ^{2} y^{} = 0 y (0) = y (1) = 0$
icke-triviala lösningar, d.v.s. lösningar som inte är identiskt noll?

$y = A \cos (|λ| x) + B \sin (|λ| x) y (0) = 0 \to A = 0 y (1) \to λ = πn, n > 0$

Jag vet inte om jag har förstått frågan rätt och om min metod är korrekt.

Helt rätt metod. Dock skulle jag vilja påstå att $n \in ℤ$

EDIT! Nej självklart är $n > 0$ eftersom att $λ > 0$ .
Du har gjort helt rätt lösning!

Tack Calle men jag förstår inte riktigt vad jag har räknat ut, ekvationen har alltså lösningar som inte är noll när $λ = πn$ ?

Efter att du har satt in det första begynnelsevillkoret och fått A=0 har du ekvationen: $y = B \sin (λ x)$ .

Det andra begynnelsevillkoret är y(1)=0, dvs $B \sin (λ) = 0$

För du ska få icke-triviala lösningar MÅSTE $B \neq 0$ , för om B=0 har du bara den triviala lösningen.

Då måste $\sin (λ) = 0$ vilket är detsamma som att $λ = n π$

Jaha nu förstår jag, tack!

Svara

Visa senaste svar