diagonalmatris, N(t) för egenrum, förhållande

Hej,

Jag har en uppgift där jag bland annat diagonaliserar en matris. I uppgiften ingår även att räkna ut nollrummet för egenvärdet till respektive egenrum.

Efter att fått alla egenvektorer testar jag att multiplicera den med min matris A, för att hitta i vilken ordining jag ska sätta egenvektorerna när jag sedan skriver diagonalmatrisen. 

Fråga 1 : Jag finner att alla egenvektorer är linjärt oberoende. Kan jag utifrån det direkt säga att matrisen är diagonaliserar bra?

Fråga 2: Om jag vet att diagonalmatrisen är linjärtoberoende. Kan jag utifrån det säga något om mitt nollrum.

I mitt fall kollar jag om diagonalmatrisen är linjärt oberoende och därefter kollar jag om matrisen är N(T) är linjärt oberoende:

Frågan jag undrar är att om jag vet att den ena är linjärt oberoende, kommer det automatiskt att med föra att den andra också är linjärt oberoende. Räcker det med att jag kommer en eller måste jag kolla båda?

Stort tack för hjälpen!