Diagonalmatris

Försöker lösa $A^{40}$

där

$A=\left(\begin{array}{cc}1/2& 1/10\\ 1/2& 9/10\end{array}\right)$

har fått tips att ta fram diagonalmatrisen till A, så att

$A=TD^{40}T^{-1}$

Hittade egenvärdena

$\lambda_1 = 1, \; \lambda_2= 2/5$

Med dessa tog jag fram egenvektorer enligt

$A \bar v  = \bar 0$

och fick

$\bar v_1=$$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$ (med t = 5)

$\bar v_2=$$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$ (med t = 1)

Dessa ger T:

$T=\left(\begin{array}{cc}5& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$

och därmed

$T^{-1}=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 5\end{array}\right)$

och D ges av egenvärdena:

$D=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2/5\end{array}\right)$

Men förstår inte hur detta hjälper mig.

Vet att

$A^{40}=T D^{40} T^{-1}$

Men D^40 är ju också rätt knepig. Eller gör jag fel? Varför gjorde jag dessa stegen om det knappt hjälper?(Antar att det hjälper, men ser inte hur!)