Diagonalmatris

Hej

jag behöver hjälp med att lösa diagonalmatrisen.

Betrakta matrisen $A = |\begin{matrix} 4 & 4 & - 2 \\ 4 & 4 & - 2 \\ - 2 & - 2 & 1 \end{matrix}|$ Bestäm alla egenvärden och egenvektorer av A och avgör om A är diagonaliserbar. I så fall ange en inverterbar matris P och en diagonalmatris D så att $D = P^{- 1} * A * P$

Jag har räknat ut egenvärdena till $λ_{1} = 0, λ_{2} = 0, λ_{3} = 9$

och egenvektorerna till $u_{1} = (1, - 1, 0), u_{2} = (1, 0, 2), u_{3} = (2, 2, - 1)$

Men jag är fast på uppgiften att lösa diagonalmatrisen $D = P^{- 1} * A * P$

Jag löste p= $|\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{matrix}|$ och A har vi från början.

Diagonalmatrisen, $D = [\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} \end{matrix}]$ ,

är en nollmatris med egenvärdena på diagonalen, multiplicerar du ihop $P^{- 1} \cdot A \cdot P$ så är det den du ska få. Du kan också kolla detta genom att $P \cdot D \cdot P^{- 1} = A$ måste gälla.
Eller är det att hitta inversen du har problem med?

Det jag inte riktigt förstår är hur man kommer fram till svaret genom multiplikation, jag ser ju att vi har nollor överallt utom egenvärdena och stoppad in dem i matrisen då får vi samtliga nollor utom en som blir 9.

Sedan fick jag inte riktigt till inversen till P

Vet du hur man utför matrismultiplikation?

Isf, multiplicera ihop $P^{- 1}$ och $A$ först, sedan kan du multiplicera ihop $(P^{- 1} \cdot A)$ med $P$ .

Inversen finner du enklast genom att sätta $P = I \Leftrightarrow [\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ och gausseliminera tills dess att $V L = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ och då är $H L = P^{- 1}$

Svara

Visa senaste svar