Diagonalisering och upphöjda matriser
Hej! Gällande fråga b) .
b). Här tänker jag att om jag att en 3x3 matris måste ha 3 stycken linjärt oberoende egenvektorer för att matrisen ska vara diagonaliserbar. Beräknar därför egenvärdena och får tre värden för landa: -2, 1 och 1. Jag antar då att eftersom två av de landa jag fick fram har samma egenvärde så får de också samma linjärt oberoende egenvektor, vilket i sin tur leder till att vi endast får 2 stycken linjärt oberoende egenvektorer och matris A är därför inte diagonaliserbar. Kan man resonera så eller stämmer det inte?
En -matris med färre än distinkta egenvärden kan fortfarande vara diagonaliserbar. Ett egenvärde kan nämligen motsvara mer än en egenvektor. Det som kan hända är att ekvationssystemet kan vara underbestämt. Ett trivialt exempel är om . Denna matris har ett egenvärde 1, men har egenvektorer och . (Mer precist är alla nollskilda vektorer egenvektorer till identitetsmatrisen.)
Något som alltid gäller är dock att det aldrig kan finnas fler olika egenvärden än vad det kan finnas egenvektorer. Om en matris har distinkta egenvärden, så har den minst linjärt oberoende egenvektorer.
Ditt argument räcker alltså inte för att avgöra om en matris är diagonaliserbar. Du kan däremot bestämma samtliga egenvektorer och se hur många linjärt oberoende sådana du får. Är det färre än tre, så är A inte diagonaliserbar.
