6 svar
361 visningar
blairdolf 39 – Fd. Medlem
Postad: 5 dec 2020 22:35

Diagonalisering och ortogonalbas

 

A =        2 -1

               a   1

a) För vilka val av a är A diagnoaliserbar?

b) För vilka val av a har R2 en ortogonalbas bestående av egenvektorer till A?

 

Svar: 

På a) Undrar jag hur man bestämmer/vet om en matris är diganoliserbar. Det finns en sats som säger att en matris är diagonaliserbar om matrisen har tillräckligt många Linjärt oberoende egenvektorer men hur vet jag om det är tillräckligt många?  (Vet inte om den satsen ens hjälper mig i denna fråga). 

Jag tänker iallafall att man kan börja diagonalisera och ta fram egenvärden och egenvektorerna för o kunna beräkna A=PDP-1. Jag får att egenvärdena ges av ekvationen x2+x+2+a=0. Men sedan vet jag inte hur jag ska gå vidare. Jag skulle kunna dela upp det i olika fall men vet inte vilka värden på a  man ska välja då a skulle kunna vara vad som helst (nästan). 

På b) undrar jag hur man tar fram en ortogonalbas. Skulle behöva hjälp för att börja på frågan. 

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 6 dec 2020 00:49

Hej,

Om du har en kvadratisk matris med nn stycken rader och matrisen har nn stycken olika egenvärden, så är matrisen diagonaliserbar.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 6 dec 2020 00:51 Redigerad: 6 dec 2020 00:53

Om ekvationen x2+x+(2+α)=0x^2+x+(2+\alpha)=0 har två olika lösningar så är din 2×22\times 2-matris diagonaliserbar; en kvadratkomplettering visar när detta inträffar.

    (x+0.5)2+(1.75+α)=0.(x+0.5)^2+(1.75+\alpha)=0.

blairdolf 39 – Fd. Medlem
Postad: 6 dec 2020 12:14

Tack så mycket!

blairdolf 39 – Fd. Medlem
Postad: 6 dec 2020 12:45

så om a är 1,75 kommer det bara finnas ett egenvärde och därmed inte diagonliserbar? 

Jag får att x= -0,5 (+,-) Sqrt(-1.75-a)

men a måste också vara större än 1,75 så slutsatsen är att så länge a>1,75 är matrisen diagonliserbar? Har jag tolkat rätt?

babufrikk 18
Postad: 6 dec 2020 15:25

b) Du kan kolla på satsen om symmetri för nxn-matriser.

blairdolf 39 – Fd. Medlem
Postad: 6 dec 2020 17:39 Redigerad: 6 dec 2020 17:40

Alltså om en matris är symmetrisk (dvs A=AT) så kan man bilda en ortogonalbas av egenvektorerna? I detta fall så för att matrisen ska vara symmetrisk så måste a=-1 

2 -1                          2    a

a   1                =      -1     1

Om a= -1 så är matrisen symmetrisk och hur skulle jag bilda den ortogonalabasen? 

Finns det fler fall för att kunna bilda en ortogonalbas?

Svara
Close