Diagonalisering och ortogonalbas

A = 2 -1

a 1

a) För vilka val av a är A diagnoaliserbar?

b) För vilka val av a har R² en ortogonalbas bestående av egenvektorer till A?

Svar:

På a) Undrar jag hur man bestämmer/vet om en matris är diganoliserbar. Det finns en sats som säger att en matris är diagonaliserbar om matrisen har tillräckligt många Linjärt oberoende egenvektorer men hur vet jag om det är tillräckligt många? (Vet inte om den satsen ens hjälper mig i denna fråga).

Jag tänker iallafall att man kan börja diagonalisera och ta fram egenvärden och egenvektorerna för o kunna beräkna A=PDP^-¹. Jag får att egenvärdena ges av ekvationen x²+x+2+a=0. Men sedan vet jag inte hur jag ska gå vidare. Jag skulle kunna dela upp det i olika fall men vet inte vilka värden på a man ska välja då a skulle kunna vara vad som helst (nästan).

På b) undrar jag hur man tar fram en ortogonalbas. Skulle behöva hjälp för att börja på frågan.

Hej,

Om du har en kvadratisk matris med $n$ stycken rader och matrisen har $n$ stycken olika egenvärden, så är matrisen diagonaliserbar.

Om ekvationen $x^2+x+(2+\alpha)=0$ har två olika lösningar så är din $2\times 2$ -matris diagonaliserbar; en kvadratkomplettering visar när detta inträffar.

$(x+0.5)^2+(1.75+\alpha)=0.$

Tack så mycket!

så om a är 1,75 kommer det bara finnas ett egenvärde och därmed inte diagonliserbar?

Jag får att x= -0,5 (+,-) Sqrt(-1.75-a)

men a måste också vara större än 1,75 så slutsatsen är att så länge a>1,75 är matrisen diagonliserbar? Har jag tolkat rätt?

b) Du kan kolla på satsen om symmetri för nxn-matriser.

Alltså om en matris är symmetrisk (dvs A=A^T) så kan man bilda en ortogonalbas av egenvektorerna? I detta fall så för att matrisen ska vara symmetrisk så måste a=-1

2 -1 2 a

a 1 = -1 1

Om a= -1 så är matrisen symmetrisk och hur skulle jag bilda den ortogonalabasen?

Finns det fler fall för att kunna bilda en ortogonalbas?

Svara

Visa senaste svar