Diagonalisering av matris

Syftar främst på b) då.

Jag plockade fram egenvektorerna, som då gavs av $$\begin{gathered} t(1,1,1) för egenvärdet \lambda = 0 och planet x_1 +x_2 + x_3 = 0 för egenvärdet \lambda =3 \\ Parameterform av planet ges av \left\{\begin{array}{ll}{x}_1 = s& \\ x_2 = t& \\ x_3 = -s-t& \end{array}\right. \end{gathered}$$

Så för att ta fram S brukar man ju då stoppa in alla egenvektorer som kolonnvektorer, och då bör ju matrisen få utseendet $S =\hspace{0.17em}\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& -1& -1\end{array}\right]$

Denna är förstås inte ortonormerad ännu, men den bör ju ändå gå för att ta fram diagonalmatrisen D, eller hur?

När jag gör detta med sambandet $S^{-1}AS = D$så blir det dock inte rätt, jag får ingen diagonalmatris. Vad jag kan se gör jag inget räknefel, så undrar om jag gör något fel rent teoretiskt här?

I facit ser jag sedan att de använt matrisen $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 0& -2\end{array}\right) =\hspace{0.17em}S\begin{array}{}\\ \\ \end{array}$, och sedan normerat den. Dvs det ser ut som de har adderat ihop basvektorerna till planet och använt det som tredje kolonnvektor i S. Är det så de gjort och isåfall varför?

Tack!