diagonalisering

En diagonalmatris $D$ till en matris $A$ gör ju egentligen båda samma transformation, bara i olika baser. $D$ har nämligen $A$:s egenvektorer som bas, vilket gör det väldigt enkelt att beskriva transformationen genom att lägga egenvärdena i diagonalen (detta eftersom egenvektorerna per definition bara multipliceras med en skalär i transformationen). Man beskriver detta vanligtvis som:

$A=PDP^{-1}$

Där $P$ är basbytesmatrisen till egenvektorbasen. Det första $P$:et byter bas till egenvektorbasen, $D$:et utför själva transformationen (i egenvektorbasen) och sedan byter man tillbaka till ursprungsbasen genom att multiplicera med $P$:s invers, $P^{-1}$.

Ditt sätt att skriva är samma sak, enda skillnaden är att där tänker man att man redan är i egenvektorbasen, byter till $A$:s bas ($P^{-1}$), utför transformationen och byter tillbaka till egenvektorbasen. Dock är det ganska sällan vi är i egenvektorbasen från början, vilket är varför man inte skriver på det här sättet särskilt ofta.

Anledningen till att detta är så användbart för att beräkna potenser är att det går att ta fram relationen:

$A^n=PD^nP^{-1}$

Eftersom $D$ är en diagonalmatris behöver man bara höja upp diagonalen till $n$ för att räkna ut potenser. Anledningen till att detta fungerar är ju att $D$ utgör samma transformation som $A$, bara i en annan bas. När vi tar potenser av matriser applicerar vi egentligen bara matrisen på sig själv $n$ gånger, och då är det blir ju samma sak att applicera $A$ på sig själv flera gånger som att applicera $D$ på sig själv flera gånger eftersom de är samma transformation i olika baser.

$$A^2=(P^{-1}DP)^2= (P^{-1}DP)(P^{-1}DP)=P^{-1}DPP^{-1}DP= P^{-1}D^2P$$

Du måste ändå multiplicera med inversen av P från vänster och P från höger.

Du har alltså inte att $A^2= D^2$

AlvinB skrev:

En diagonalmatris $D$ till en matris $A$ gör ju egentligen båda samma transformation, bara i olika baser. $D$ har nämligen $A$:s egenvektorer som bas, vilket gör det väldigt enkelt att beskriva transformationen genom att lägga egenvärdena i diagonalen (detta eftersom egenvektorerna per definition bara multipliceras med en skalär i transformationen). Man beskriver detta vanligtvis som:

$A=PDP^{-1}$

Där $P$ är basbytesmatrisen till egenvektorbasen. Det första $P$:et byter bas till egenvektorbasen, $D$:et utför själva transformationen (i egenvektorbasen) och sedan byter man tillbaka till ursprungsbasen genom att multiplicera med $P$:s invers, $P^{-1}$.

Ditt sätt att skriva är samma sak, enda skillnaden är att där tänker man att man redan är i egenvektorbasen, byter till $A$:s bas ($P^{-1}$), utför transformationen och byter tillbaka till egenvektorbasen. Dock är det ganska sällan vi är i egenvektorbasen från början, vilket är varför man inte skriver på det här sättet särskilt ofta.

Anledningen till att detta är så användbart för att beräkna potenser är att det går att ta fram relationen:

$A^n=PD^nP^{-1}$

Eftersom $D$ är en diagonalmatris behöver man bara höja upp diagonalen till $n$ för att räkna ut potenser. Anledningen till att detta fungerar är ju att $D$ utgör samma transformation som $A$, bara i en annan bas. När vi tar potenser av matriser applicerar vi egentligen bara matrisen på sig själv $n$ gånger, och då är det blir ju samma sak att applicera $A$ på sig själv flera gånger som att applicera $D$ på sig själv flera gånger eftersom de är samma transformation i olika baser.

 Okej! varför är A=PDP^(-1)?

Vi definierar $D$ till att utföra samma transformation som $A$ fast i basen av $A$:s egenvektorer. Så länge vi går över till egenvektorbasen och tillbaka får vi alltså samma svar ur matrisen $A$ som $D$. Övergången gör vi med hjälp av basbytesmatriserna $P$ och $P^{-1}$. Först går vi över till egenvektorbasen med $P$ och sedan gör vi transformationen med $D$ och därefter går vi tillbaka till ursprungsbasen med $P^{-1}$:

$A=PDP^{-1}$

Allting $P$ och $P^{-1}$ gör är alltså att konvertera mellan baserna. $A$ och $D$ utför själva transformationerna.

AlvinB skrev:

Vi definierar $D$ till att utföra samma transformation som $A$ fast i basen av $A$:s egenvektorer. Så länge vi går över till egenvektorbasen och tillbaka får vi alltså samma svar ur matrisen $A$ som $D$. Övergången gör vi med hjälp av basbytesmatriserna $P$ och $P^{-1}$. Först går vi över till egenvektorbasen med $P$ och sedan gör vi transformationen med $D$ och därefter går vi tillbaka till ursprungsbasen med $P^{-1}$:

$A=PDP^{-1}$

Allting $P$ och $P^{-1}$ gör är alltså att konvertera mellan baserna. $A$ och $D$ utför själva transformationerna.

 aha! Tack så mycket!