Diagonaliserbarhet: dimension av egenrum

Hur skulle summan kunna bli något annat?

Varje egenvärde har minst en egenvektor, och max lika många som multipliciteten på egenvärdet. Om vi har 3 av 4 unika egenvärden måste en av dem ha geometrisk multiplicitet 2, och det vet vi redan stämmer.

Hej Micimacko,

Jag förstår inte riktigt det du säger. Kan du utveckla? 

Är du med på att varje egenvärde hör ihop med ett visst antal linjärt oberoende egenvektorer?

Det antalet kallas geometrisk multiplicitet.

Egenvärdets multiplicitet är hur många likadana egenvärden vi har, alltså hur många gånger det talet är en rot i det karaktäristiska polynomet till matrisen.

Alla egenvärden måste ha minst en egenvektor, och kan ha max lika många som sin multiplicitet. Här har alltså 1 egenvärde multiplicitet 2, annars hade vi haft 4 olika, och vi vet att det e.v. har 2 egenvektorer. Och att de andra två måste ha mellan 1 och 1 st. Alltså 4 totalt.

Nu börjar det klarna. Bara för att kolla så att jag har förstår detta så tar vi ett till exempel. 

Ponera att vi istället har en matris $A\in {\mathrm{ℝ}}^{7\times 7}$som har tre olika egenvärden. Ett egenrum är tvådimensionellt och ett annat egenrum är tredimensionellt. 

Nu vill jag då säga att det tredje egenrummet kan ha mellan 1 och 2 egenvektorer och då alltså antingen en dimension eller två dimensioner. Detta leder till att $A$kan vara icke-diagonaliserbar, eller?

Ja, precis.

Eller nja, du har ju inte skrivit egenvärdenas multiplicitet. En av de första skulle ju kunna vara tex 3 av 4, och då kan sista bara vara 1. Men den är fortfarande inte diagonaliserbar eftersom en egenvektor fortfarande saknas, men på ett annat ställe.

Micimacko skrev:

Eller nja, du har ju inte skrivit egenvärdenas multiplicitet. En av de första skulle ju kunna vara tex 3 av 4, och då kan sista bara vara 1. Men den är fortfarande inte diagonaliserbar eftersom en egenvektor fortfarande saknas, men på ett annat ställe.

Hur menar du när du säger att en av de förstas multiplicitet kan vara 3 av 4? 

Du skrev att ett egenrum var tredimensionellt. Det betyder att egenvärdets multiplicitet är minst 3, men kan vara högre.

Här kan det var max 4 för minst 2 hör till egenvärdet med 2 egenvektorer, och minst 1 hör till det sista.

Egenvärdenas multiplicitet är alltid lika med n, alltså 7 här. Vi vet var 3+2+1 av dem är, men det sista egenvärdet kan vara vilket som helst av de 3. Om det är samma som en av de 2 första så vet vi att vi saknar en egenvektor, och matrisen ör inte diagonaliserbar. Om det är samma som sista har vi dubbelt egenvärde som kan ha 1 eller 2 vektorer, och både kan vara och inte vara diagonaliserbar.

Menar du algebraisk multiplicitet eller geometrisk? Det sista egenvärdet kan väl inte ha geometrisk multiplicitet 3? Som jag förstår det, vilket jag inte verkar göra för övrigt:), så borde det sista egenvärdet som högst kunna ha den geometriska multipliciteten 2 ty vi vet att de andra har minst tre och två vilket är fem och då finns det väl bara två "platser" kvar för att allt ska summeras till 7. Vart går jag fel? 

Den algebraiska är alltid totalt lika med n. Den geometriska kan vara lägre. Det blir nog lite otydligt att numrera både unika och ounika egenvärden. Vi kan testa såhär:

Ev A, geom mult=3, algebraisk minst 3

Ev B, geom mult=2, algebraisk minst 2

Ev C, geom =minst1, algebraisk minst 1

Nu vet vi vad 6 av 7 egenvärden är. Ett är fortfarande okänt.

Alternativ 1, matrisen är diagonaliserbar. Då måste algebraisk vara lika med geometrisk överallt, så båda multipliciteter måste vara 2 för ev C.

Alternativ 2, den är inte diagonaliserbar. Geometrisk är lägre än algebraisk någonstans. Geometrisk för evC=1 (eftersom vi redan har 6 och inte ska upp i 7). Det sista egenvärdet av våra 7 algebraiska kan vara lika med antingen A, B eller C.

Okej nu tror jag att jag förstår. Alltså kan egenvärde C ha geometrisk multiplicitet 1 men algebraisk multiplicitet 2 och då är matrisen alltså inte diagonaliserbar, eller? Tack så väldigt mycket för all hjälp:)

Ja det är ett av alternativen. Själva poängen med det sista är att vilket som helst av dem kan ha högre algebraisk, för du skrev bara den geometriska i uppgiften. Det behöver inte vara just C som är boven här.

Hej Max,

Säg att du har en matris $A$ av typ $7\times 7$ och att den har endast egenvärdena $\lambda_1=1$ och $\lambda_2=3.$ 

Den algebraiska multipliciteten för $\lambda_1$ visar sig vara $2$ och den algebraiska multipliciteten för $\lambda_2$ visar sig vara $5$. Detta betyder att sjundegradspolynomet $\det(A-\lambda I)$ kan faktoriseras såhär:

    $(\lambda-1)^{2}(\lambda-3)^{5}.$

Den geometriska multipliciteten för $\lambda_1$ visar sig vara $1$ och den geometriska multipliciteten för $\lambda_2$ visar sig vara $4$. Detta betyder att egenrummet till $\lambda_1$ är en-dimensionellt och att egenrummet till $\lambda_2$ är fyr-dimensionellt; geometriska multipliciteter är aldrig större än algebraiska multipliciteter.

Notera att egenrummen inte "räcker till" för att representera en godtycklig vektor i det sju-dimensionella rummet, vilket indikerar att matrisen $A$ är icke-diagonaliserbar.

Tack för en mycket tydlig förklaring Albiki och tack för hjälpen micimacko.