Diagonaliserbar

Hej

kan någon hjälpa mig med att bestämma om A är diagonaliserbar.

Avgör om A är diagonaliserbar, där A= $|\begin{matrix} - 1 & - 1 & 1 \\ 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}|$

Jag bestämde egenvärdena till $λ_{1} = 1, λ_{2} = 1, λ_{3} = - 1$

Det står i facit att matrisen inte är diagonaliserbar, beror det på att vi har två likadana egenvärden?

Det står att matrisen inte är diagonaliserbar då den geometriska multipliciteten av $λ_{2} = 1$ är alltså bara 1 medans dess algebraisk multiplicitet är 2, så A är inte diagonaliserbar.

Hur många egenvektorer finns det för $λ_{1, 2} = 1$ ?

Den algebraiska multipliciteten för ett egenvärde är multipliciteten för egenvärdet som nollställe till det karakteristiska polynomet, detta måste alltså vara lika med den geometriska multipliciteten som är dimensionen av nollrummet till $A - λ \cdot I$ , där $λ$ är något egenvärde.

Edit: Hondel förklarade det bättre

Att diagonalisera matrisen betyder att man kan skriva A=TDT^-1 där T är en matris med egenvektorerna som hör till respektive egenvärde. D är en matris med egenvärdena på diagonalen och nollor i övrigt. Om du provar att räkna ut egenvektorerna så kommer (troligtvis, jag har inte provat själv) egenvärdet 1 bara ge en egenvektor. Så då kan vi inte diagonalisera, eftersom vi behöver tre egenvektorer totalt (en från egenvärde -1 och två från egenvärde 1)

Svara