Diagonalisera operator på ett vektorrum

$T_{[B]}$ är samma sak som $[T]_S=A$ fast i basen av egenvektorer, alltså en diagonalmatris.

Vi vill ha en diagonalmatris för att det är lättare att upphöja en sådan till $N$.

Vid en övergång från en bas $S$ till en annan bas $B$ transformeras matrisen för en linjär avbildning enligt

$[T]_B=P^{-1}[T]_SP$

Där $P$ är en matris vars kolonner utgörs av de nya basvektorerna, uttryckt i den gamla basen. I vårt fall ser $P$ ut så här:

$P=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&2\\0&0&1\end{array}\right]$

I det här fallet behöver vi inte genomföra själva beräkningen eftersom vi vet att diagonalelementen ska bestå av egenvärdena till egenvektorerna, jmfr spektralsatsen och allmän diagonalisering.

$[T]_B=\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}\right]$

Elementen på diagonalen är egenvärdena hörande till respektive egenvektor i P:s kolonner.

hej, så  [T]B är diagonalmatris, men jag undrar på hur kopplar vi ihop spektralsatsen med att diagonalelementen ska bestå av  egenvärdena till egenvektorerna, eftersom spektralsatsen säger att en symmetrisk n×nn×n-matris har en ortogonal bas av egenvektorer.

Njae, det beror på vilken/vilka versioner ni gått igenom. Kanske kan du titta under "Affine Diagonalization"? Vilken bok har ni? Jmfr t.ex. Theorem 7 i Lay.

Här får du iaf en sats om saken

Om nxn-matrisen $A$ har n stycken linjärt oberoende egenvektorer $e_i$, $i=1,\dots,n$ med tillhörande egenvärden $\lambda_i$ gäller att

$P^{-1}AP=D$

där $P$:s kolonner utgörs av egenvektorerna och $D$ är en diagonalmatris med egenvärdena på diagonalen.

Varje egenvärde till $A$ förekommer i $D$ lika många gånger som dess multiplicitet i det karaktäristiska polynomet anger.

nu kopplar jag ihop ting, det stämmer vi fick denna satsen i första delen av kursen. men nu är vi på del två, därmed kom jag inte ihåg denna satsen. nu förstor jag battre

får jag ställe sista fråga, gällende "Där PP är en matris vars kolonner utgörs av de nya basvektorerna, uttryckt i den gamla basen" kan du visa mig ett exempel på hur vi får vektorn [e2]s

De tre egenvärdena $\lambda_1=0, \lambda_2=1, \lambda_3=2$ ges av ekvationen

$\det(A-\lambda I)=0$

För varje egenvärde gäller att $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$. Egenvektorerna till egenvärdet $\lambda_2=2$ får man alltså genom att lösa ekvationen

$(A-\lambda_2 I)\mathbf{x}=0$

Vilket ger systemet

$\left\{ \begin{array}{cc}-2x+y&=&0\\-y+2z&=&0\end{array}\right.$

Med lösningarna $x=t$, $y=2t$ och $z=t$. Egenvektorerna är alltså

$\mathbf{x}=t\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix},\quad t\neq0$

För enkelhets skull väljer vi $t=1$ och låter $[\mathbf{e}_2]_S=(1,2,1)$

Egenvektorerna $[\mathbf{e}_0]_S, [\mathbf{e}_1]_S$ till de andra egenvärdena ($\lambda_1=0, \lambda_2=1$) fås på samma sätt.

Tack så mycket, det var till stor hjälp

så matrisen P har egenvektorer hörande till egenvärden 0,1,2 som kolonner