Diagonalisera matris
Halloj. Jag håller på att diagonaliesera en matris. Jag har hittat egenvärdena varav ett av dom är 1 och det använder jag för att hitta ett egenvektor här:
men jag har verkligen svårt att förstå vad som händer där i övergången mellan matrisen och den skalära ekvationen där. Tror jag har svårt att förstå konceptet att hitta egenvektorn i det hör steget överlag. Stort tack till den som vill hjälpa och förklara🙏.
Edit: Kanske snarare ska säga att jag har svårt att förstå varför det steget händer.
Du har hittat egenvärdet 1 till matrisen A och är nyfiken på vilken vektor som kan associeras med detta egenvärde, dvs. vilken egenvektor det är fråga om. För att lösa detta bildar du ekvationen
A*v-1*v = 0
vilket du skriver som din första matrisekvation.
Du är nu nyfiken på på egenvektorns koordinater och för att lösa detta så observerar du att eftersom högerledet är 0 så kan du ta hela rader och addera till varandra utan att högerledet ändras; du gör detta och får endast en rad som beskriver egenvektorns koordinater.
Du dividerar sedan denna rad med -2 för att första koordinaten skall multipliceras med talet 1(pivotelementet) och når till den inringade raden. Här vet du nu mha. matrismultiplikation mellan matrisen och egenvektorn att v1+v2/2-v3=0 för alla vektorer som är egenvektorer till A-matrisen och har egenvärdet 1. De andra raderna i matrisen säger att 0*v1+0*v2+0*v3=0 respektive att 0*v1+0*v2+0*v3=0, vilket inte begränsar så mycket om egenvektorerna.
Så om du räknat rätt så är det ett helt plan av vektorer som har egenvärdet 1 i matrisen. Jag undrar dock hur du från två rader i första matrisen som var nollskilda och olika lyckades gå till att endast en rad var nollskild; vad jag kan se så borde det fortfarande vara två stycken nollskilda rader kvar.
Tack för den superbra förklaringen @Bedinsis. Du har rätt i att det ska vara två stycken nollskilda rader kvar. Jag föjde ett lösningsförslag och insåg nu när jag läste din förklaring att elementet längst upp till vänster i matrisen där i början ska vara en positiv tvåa och inte en negativ tvåa. En sak som jag fortfarande undrar över är när du skriver:
För att lösa detta bildar du ekvationen
A*v-1*v = 0
vilket du skriver som din första matrisekvation.
Menar du att det är samma sak som att sätta upp min matris multiplicerat med (v1, v2, v3) som jag gjort där?
Jag fortsatte i alla fall och en sak som jag inte nämnde var att det va två stycken egenvärden som var 1. Jag tänkte i alla fall såhär då:
att eftersom jag har två stycken egenvärden 1 så måste jag även hitta två stycken oberoende egenvektorer?
Det jag menar är att du skriver
"Substituera 1 mot [lambda] dvs:"
vilket jag tolkat som att du hade A-matrisen och subtraherade denna med en diagonalmatris av okända [lambda]-värden, varefter du ersatte alla [lambda]-värden med 1, och fick matrisen nedanför. Jag tänkte att diagonalmatrisen egentligen är 1 gånger vektorn själv, men jag inser nu att man kan ju subtrahera t.ex. v2-koordinaten från rad 1 så den biten i min beskrivning borde ersättas med att uttryckligen hänvisa till diagonalmatrisen. Jag får be om ursäkt för förvirringen.
Du säger nu att det skulle vara en positiv tvåa i övre högra hörnet i första matrisen. Då ser jag redan här att rad 1 och rad 2 är linjärt beroende, och att övriga uträkningar ser riktiga ut. Med andra ord borde du få ett helt plan av möjliga egenvektorer som är gångbara, och det är också det som du fick. Detta stämmer även med ditt påstående att det var två egenvärden som var 1.
Du hittar egenvektorerna (-0,5;1;0) och (1;0;1). Dina uträkningar verkar stämma så dessa bör då gå an. Pröva att sätta in de i originalekvationen, dvs. multiplicera med A-matrisen och se om resulterande vektorer kan ses som vektorn själv gånger konstanten 1.
Tack för en till bra förklaring. Nu kommer jag till det sista steget i mina uträkningar och har en sista fråga:
min sist fråga är, eftersom att jag ser att egenvektorerna är linjärt oberoende, kan jag då veta att min ursprungliga matris är diagonaliserbar?
Matrisen som jag hade från början och skulle ta reda om den var diagonaliserbar var:
