Diagonal

Har du någon bild till uppgiften? Jag klarar inte att visualisera den från beskrivningen.

hej, nej tyvärr fick vi ingen bild till uppgiften.

Fattas det möjligen en punkt efter irdet "cirkel", innan AF = 31? I så fall går det att tolka beskrivningen.

ja, det ska vara punkt efter cirkel, missade nog det när jag skrev frågan.

Om man försöker med Pythagoras får jag fram ${81}^2+{81}^2=13122\Rightarrow \sqrt{13122}\approx 115$ men det blir inget exakt värde så därför tror jag inte att det blev rätt.

Rita en figur. Börja alltid med att rita en figur.

Det ser ut så här

Du ska alltså beräkna summan AC + AD + AE. Som du ser så finns det inga räta vinklar så du kan inte använda dig av pythagoras sats på det sättet du gör.

okej men då vet jag inte riktigt vilken metod man ska använda för att få fram diagonalen, det vi vet är ju längden Af=31 samt övriga 81, men hur ska man då använda den informationen till att få fram diagonalen?

Det känns inte som att det finns någon elegant lösning på detta problem. Man får helt enkelt räkna med lite tårar när man löser detta problem.

Du kan börja med att se att det gäller att $5\alpha + \beta =\hspace{0.17em}360°$, sedan så har man från cosinussatsen att

$$\begin{gathered} {81}^2=2·r^2(1 - \cos \alpha ), samt att \\ {31}^2=2·r^2(1 - \cos \beta ) =\hspace{0.17em}2·r^{ 2}(1 - \cos (360° - 5\alpha \left)\right) =\hspace{0.17em}2·r^2(1 - \cos (5\alpha \left)\right) \end{gathered}$$

Nu har du ett ekvationssystem i r och $\cos \alpha$. Löser man detta system så kan man sedan beräkna de sökta längderna.

okej, ska man sätta in $\left|\begin{array}{c}2r^2-2r^2\cos \left(a\right)={81}^2\\ 2r^2-2r^2\cos \left(5a\right)={31}^2\end{array}\right|$ och lösa ut värdet på r och cos(a)?

Ja, fast du behöver utveckla cos(5a) i termer av cos(a). Sedan får man lösa ekvationssystemet.

Det är jag inte riktigt med på, hur menar du att man ska utveckla cos(5a)?

Man kan utveckla cosinus med additionsformlerna, eller så använder man Eulers formel. Jag visar med Eulers formel, man har att

$$\begin{gathered} \left(\cos \right(x) + i \sin (x){)}^5 \\ ={\cos }^5(x) + 5i {\cos }^4(x\left)\sin \right(x) - 10{\cos }^3(x\left){\sin }^2\right(x) - 10i{\cos }^2(x\left){\sin }^3\right(x) + 5\cos (x\left){\sin }^4\right(x) + i{\sin }^5(x) \end{gathered}$$

Eftersom detta är lika med

$\cos \left(5x\right)\hspace{0.17em}+ i \sin \left(5x\right)$

Så år man om man tar real delen av båda uttrycket att

$\cos \left(5x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{\cos }^5\left(x\right) - 10{\cos }^3\left(x\right){\sin }^2\left(x\right) + 5\cos \left(x\right){\sin }^4\left(x\right)$

Fortsätter vi förenkla detta med hjälp av trigonometriska ettan så får man att

$$\begin{gathered} \cos \left(5x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{\cos }^5\left(x\right) - 10{\cos }^3\left(x\right)(1 - {\cos }^2(x\left)\right) + 5\cos \left(x\right)(1 - {\cos }^2(x){)}^2 \\ ={\cos }^5(x) - 10{\cos }^3(x) + 10{\cos }^5(x) + 5\cos (x\left)\right(1 - 2{\cos }^2\left(x\right) + {\cos }^4\left(x\right)) \\ =11{\cos }^5(x) - 10{\cos }^3(x) + 5\cos (x) - 10{\cos }^3(x) + 5{\cos }^5(x) \\ =16{\cos }^5(x) - 20{\cos }^3(x)\hspace{0.17em}+ 5\cos (x) \end{gathered}$$

Nu har man alltså cos(5x) uttryck i enbart termer av cos(x). Så nu kan du använda detta i ekvationssystemet du har och lösa ut r och cos(a) (eller så försöker du komma på någon annat sätt att lösa det på, eller hoppas på att någon annan i forumet ser hur man kan lösa det på ett lättare sätt).

okej så då blir alltså ekvationssystemet $\left|\begin{array}{c}2r^2-2r^2\cos \left(\alpha \right)={81}^2\\ 2r^2-2r^2\left(16\cos (x{)}^5-20{\cos }^3(x)+5\cos (x)\right)={31}^2\end{array}\right|$

Det ska inte vara cos(x) i andra ekvationen, det ska vara $\cos \left(\alpha \right)$. Sedan är tipset att du gör substitutionen $t =\hspace{0.17em}\cos \left(\alpha \right)$ och börjar lösa ekvationssystemet. Första steget i det bör vara att dividera andra ekvationen med första ekvationen.

Okej så ska vi alltså sätta:$\left|\begin{array}{ccc}2r^2& -2r^{2}t& ={81}^2\\ 2r^2& -2r^2\left(16t^2-20t^2+5t\right)& ={31}^2\end{array}\right|\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}2r^2& -2r^{2}t& ={81}^2\\ 1& -\left(16t^5-20t^3+5t\right)& =\frac{{31}^2}{{81}^2}\end{array}\right|$

Du har dividerat fel, man får

$\frac{1 - (16t^5-20t^3+5t)}{1 - t}=\frac{{31}^2}{{81}^2}$

okej då förstår jag hittills men  jag är inte med på hur man ska få ut värdet på r och cos(a) vi har ju tagit bort r nu och har kvar cos(a) så i nämnaren har vi att 1-cos(a) =81^2 kan man flytta över ettan så vi får okända termen cos(a) ensamt i VL och då få fram ett värde på cos(a)?

Du kan inte bara ta och jämföra nämnarna, det är faktiskt något som du bör tycka är självklart nu när du läser matematik på högskolenivå. Denna uppgift kommer kräva ganska mycket algebraiska manipulationer och om du inte känner att du hanterar det på en rimlig nivå så kommer denna uppgift vara väldigt väldigt svår för dig.

Hursomhelst, det du måste göra är att utföra polynomdivision av det uttryck du har i VL.