Determinanter

Hej. Behöver hjälp med en uppgift:

Visa att matriselementen i $A^{- 1}$ är heltal om $A$ är inverterbar och alla matriselement i $A$ är heltal och $d e t (A)$ är $1$ eller $- 1$ .

Vi vet alltså att A inverterbar (d.v.s. $d e t (A) \neq 0$ ), att alla matriselement i A är heltal, samt att $d e t (A) = \pm 1$ . Vi får alltså att

$d e t (A) = \pm 1 = \pm d e t (I) = \pm d e t (A A^{- 1}) = \pm d e t (A) d e t (A^{- 1}) \Leftrightarrow d e t (A^{- 1}) = \pm 1$

Eftersom

$d e t (A) = d e t (A^{- 1}) = \pm 1$

och alla matriselement i A är heltal, och A är inverterbar, måste också alla matriselement i $A^{- 1}$ vara heltal.

Är detta resonemang matematiskt korrekt?

Hur visar du här att det(A^-1) = det(A) medför att elementen i A^-1 är heltal om de i A är det?

Dr. G skrev :
Hur visar du här att det(A^-1) = det(A) medför att elementen i A^-1 är heltal om de i A är det?

Det har du rätt i – det visade jag inte alls. Är detta resonemang korrekt:

Enligt en sats så gäller följande

$A^{- 1} = \frac{1}{d e t (A)} \tilde{A}$

där $\tilde{A}$ är den adjungerade matrisen till A.

Vi vet alltså att $d e t (A) = \pm 1$ . Dessutom vet vi att alla matriselement i A är heltal. Detta innebär alltså att alla matriselement i den adjungerade matrisen till A också enbart måste innehålla matriselement som är heltal (enligt definitionen på den adjungerade matrisen till A). Alltså får vi att

$A^{- 1} = \pm \tilde{A}$

Det återstår att visa att elementen i adj(A) är heltal. Hur ser man det?

Okej. Är detta rätt tänkt:

Den adjungerade matrisen till A definieras som

$a d j (A) = [\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & \cdot \cdot \cdot & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdot \cdot \cdot & A_{n 2} \\ \cdot & \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \cdot \cdot \cdot & A_{n n} \end{matrix}], A_{i k} = (- 1)^{i + k} d e t (S_{i k})$

där $S_{i k}$ är den submatris som fås då rad i och kolonn k stryks ur A. Eftersom alla matriselement i A är heltal, måste också alla matriselement i $S_{i k}$ vara heltal då vi stryker rad i och kolonn k ur A.

De enda räkneoperationerna som används vid beräkningen av determinanten enligt determinantens definition är multiplikation, addition och subtraktion. Eftersom alla matriselement i $S_{i k}$ är heltal, måste också varje $d e t (S_{i k})$ vara ett heltal, eftersom multiplikation, addition och subtraktion av heltal ger ett annat heltal. Alltså måste

$A_{i k} = (- 1)^{i + k} d e t (S_{i k}) = n, n \in ℤ o c h i, k \in ℤ_{+}$

Alltså är varje matriselement i adj(A) ett heltal. Eftersom $A^{- 1} = \pm 1 a d j (A)$ måste också varje matriselement i $A^{- 1}$ vara ett heltal.

Rätt.

Svara

Visa senaste svar