Determinanten är 0 medför?

Determinanten berättar typ volymändringen av en figur. Om volymen blir 0 hamnar allt i samma plan, och då är alla 3 vektorer linjärt beroende.

Micimacko skrev:

Determinanten berättar typ volymändringen av en figur. Om volymen blir 0 hamnar allt i samma plan, och då är alla 3 vektorer linjärt beroende.

Hur kommer det sig att determinanten berättar volymändringen?

Det är väl det man har determinanter till? Trodde det var definitionen. Sen hur man härleder formeln vet jag inte

Determinanten är räknemässigt det man gör när den (skalära) trippelprodukten beräknas.

Trippelprodukten $\mathbf{u}\bullet(\mathbf{v}\times \mathbf{w})$ tolkas som volymen (med tecken) av den parallellepiped, som har de tre vektorerna som kantvektorer. Om trippelprodukten =0 spänns ingen  "låda" upp, och de tre vektorerna ligger i samma plan, dvs är lin. beroende.

Jag som ofta gillar att ha ett avbildningsperspektiv tänker att kolonnerna hos en matris spänner upp bildrummet. Om då kolonnerna inte är oberoende så kommer avbildningen ske på ett underrum med lägre dimension, och volymsförändringen blir 0 (pressas ihop till ett plan, en linje eller en punkt (noll)).

Förstår du? Vad för kurs läser du?

För att de spänner inte upp R3 och därav kan man skriva dem som linjär kombination av varandra. 

Har du sett 3blue1browns serie "Essence of Linear Algebra"? Den utgår väldigt mycket från det geometriska avbildningsperspektivet som Qestiyah pratar om. Avsnitt #6 handlar om determinanten, så kolla gärna på det (plus tidigare avsnitt).

Determinanten är noll precis då ekvationen Ax=0 har en icke-trivial lösning. Men det betyder enligt definitionen precis samma sak som att A:s kolonner är linjärt beroende.