Determinanten??? (ska iallfall avgöra rangen hos en matris)

Du vet om att du kan posta bilder direkt i forumet va?

Rangen är dimensionen på det vektorrum som spänns upp av kolumnerna i matrisen. Vi kan omedelbart se att

 $span\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ a^2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\right\}=span\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ a^2\end{array}\right)\right\}$

Så alltså kommer dimensionen vara 2 om det gäller att $a \neq 0$ och annars är den 1.

Stokastisk skrev :

Du vet om att du kan posta bilder direkt i forumet va?

Rangen är dimensionen på det vektorrum som spänns upp av kolumnerna i matrisen. Vi kan omedelbart se att

 $span\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ a^2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\right\}=span\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ a^2\end{array}\right)\right\}$

Så alltså kommer dimensionen vara 2 om det gäller att $a \neq 0$ och annars är den 1.

Efter lite letande fann jag facit till den här uppgiften, och å hade dom gauss eliminerat den, och fått
(om a ≠ 0: ) 

1 0 1 0 
0 a 0 0
0 0 0 0

och om jag ska paramatisera detta (eftersom vi har två pivot innebär det att vi ska ha två kärnor(eller hur man nu uttrycker sig - aa ni fattar vad jag menar))

x1 = -x3
x2a = 0
om x3 = t så får vi 
t(-1,0,1,0)

men facit tar me denna vektor OCH s(0,0,0,1) .. hur fasiken har de fått ut den???


Likadant om a=0.

1 0 1 0 
0 0 0 0 
0 0 0 0

x3 = t

så får vi ju återigen t(-1,0,1,0)?!

Missade att nollrummet skulle bestämmas också. Om låter

$x_1 = -x_3$

$x_2 = 0$

$x_3 = t$

$x_4 = s$

så får du att nollrummet spänns upp av vekorerna

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Om du istället har $a = 0$ så har du

$x_1 = -x_3$

$x_2 = s$

$x_3 = t$

$x_4 = r$

Så nollrummet spänns upp av

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Stokastisk skrev :

Missade att nollrummet skulle bestämmas också. Om låter

$x_1 = -x_3$

$x_2 = 0$

$x_3 = t$

$x_4 = s$

så får du att nollrummet spänns upp av vekorerna

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Om du istället har $a = 0$ så har du

$x_1 = -x_3$

$x_2 = s$

$x_3 = t$

$x_4 = r$

Så nollrummet spänns upp av

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Meeeen, vi har ju bara x1+0x2+x3+0x4=0
då måste ju x4=x2=0 varför ska man paramatisera dom då?

Ja du har bara den där ekvationen. Löser exempelvis $x_1 = 0,\, x_2 = 43,\, x_3 = 0,\, x_4 = -3$ ekvationen? Eller kanske $x_1 = 0,\, x_2 = 4,\, x_3 = 0,\, x_4 = 6$? Med andra ord $x_2$ och $x_4$ kan vara vad som helst, därför behöver vi parametrisera dem.

Stokastisk skrev :

Ja du har bara den där ekvationen. Löser exempelvis $x_1 = 0,\, x_2 = 43,\, x_3 = 0,\, x_4 = -3$ ekvationen? Eller kanske $x_1 = 0,\, x_2 = 4,\, x_3 = 0,\, x_4 = 6$? Med andra ord $x_2$ och $x_4$ kan vara vad som helst, därför behöver vi parametrisera dem.

Ja jag tänker ju eftersom de ska vara lika med 0, så måste x4 vara 0 endast! för att de ska bli uppfyllt??

Jag råder dig att faktiskt räkna ut vad $x_1 + 0\cdot x_2 + x_3 + 0\cdot x_4$ blir med de värdena jag angav. Du bör se att du inte resonerar rätt då.