Determinantekvation

Jag har fastnat lite på determinantekvationer. Tänkte kolla så att jag förstått grunderna rätt:

Om jag har en ekvation som nedan, då kan jag utföra dessa radoperationer och motsvarande kolonnoperationer:

* Multiplicera en rad/kolonn med en konstant

* Byta plats på två rader/kolonner

* Lägga till en konstant gånger en rad/kolonn

Allt detta kan jag göra utan att determinanten förändras, i och med att determinanten är 0?

Det korta svaret är ja.

Att lägga en rad eller en kolonn gånger en konstant till en annan rad kolonn får man alltid göra.

Om man byter plats på två rader eller två kolonner så multipliceras determinanten med $-1$ . Men $0\cdot (-1)=0$ . Så i specialfallet då determinanten från början är $0$ får du alltså byta plats utan att det förändrar något.

Ungefär samma sak gäller multiplikation med en konstant $c$ . Om alla elementen i en rad eller en kolonn multipliceras med en konstant $c$ så multipliceras determinanten med $c$ . Men om determinanten är noll får du alltså $0\cdot c=0$ , dvs ingen förändring.

Tack, då vet jag att jag har fattat premisserna rätt iaf!

Om du lägger $-1$ av kolonn 1 till kolonn 4 får du bara nollor i sista kolonnen förutom på sista raden, där du får ett $x$

Sedan kan utveckla utmed den rensade kolonnen och använda använda Sarrus regel.

Visa spoiler

$\begin{vmatrix}0 & x & 1 & 0 \\-1 & 1 & x & -1 \\x & x & 1 & x \\0 & 1 & x & x \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0 & x & 1 & 0 \\-1 & 1 & x & 0 \\x & x & 1 & 0 \\0 & 1 & x & x \end{vmatrix}=x\begin{vmatrix}0 & x & 1 \\-1 & 1 & x \\x & x & 1 \end{vmatrix}=x^2(x^2-1)=0$

Tusen tack!

Svara

Visa senaste svar