determinant olik 0 <=> inverterbar matris

Om du tittar på den analytiska lösningen i din egen länk så härleder de ett uttryck för inversen vilket innehåller division med determinanten. Således måste den vara nollskild för att inversen ska kunna beräknas.

Ebola skrev:

Om du tittar på den analytiska lösningen i din egen länk så härleder de ett uttryck för inversen vilket innehåller division med determinanten. Således måste den vara nollskild för att inversen ska kunna beräknas.

Det räknas knappast som ett bevis eftersom det de visar är: Determinant nollskild medför att formeln gäller. De visar inte vad som händer om determinanten är 0. Man skulle kunna tänka sig att man då behöver en annan formel(så är ju såklart inte fallet). Men eftersom vi åtminstone har en formel om det(A) inte är 0 har vi visat $det\left(A\right)\ne 0\Rightarrow A inverterbar$. För att visa $A inverterbar\Rightarrow det\left(A\right)\ne 0$ Börjar vi med att anta A inverterbar. Då existerar en unik invers $A^{-1}$sådan att $I=A{A}^{-1}$.det(I)=1. $det\left(A{A}^{-1}\right)=det\left(A\right)*det\left(A^{-1}\right)$.

Eftersom produkten är lika med 1 kan ingen av faktorerna vara 0, alltså det(A)$\ne$0. Nu har vi alltså visat $A inverterbar \iff det\left(A\right)\ne 0$

Edit: 

Det jag är osäker på är om man kan bevisa?

Poängen med matematik är att man måste bevisa alla påståenden/satser innan de ses som sanna. Det enda undantagen är axiomen. 

parveln skrev:

Ebola skrev:

Om du tittar på den analytiska lösningen i din egen länk så härleder de ett uttryck för inversen vilket innehåller division med determinanten. Således måste den vara nollskild för att inversen ska kunna beräknas.

Det räknas knappast som ett bevis eftersom det de visar är: Determinant nollskild medför att formeln gäller. De visar inte vad som händer om determinanten är 0. Man skulle kunna tänka sig att man då behöver en annan formel(så är ju såklart inte fallet). Men eftersom vi åtminstone har en formel om det(A) inte är 0 har vi visat $det\left(A\right)\ne 0\Rightarrow A inverterbar$. För att visa $A inverterbar\Rightarrow det\left(A\right)\ne 0$ Börjar vi med att anta A inverterbar. Då existerar en unik invers $A^{-1}$sådan att $I=A{A}^{-1}$.det(I)=1. $det\left(A{A}^{-1}\right)=det\left(A\right)*det\left(A^{-1}\right)$.

Eftersom produkten är lika med 1 kan ingen av faktorerna vara 0, alltså det(A)$\ne$0. Nu har vi alltså visat $A inverterbar \iff det\left(A\right)\ne 0$

 

Edit: 

Det jag är osäker på är om man kan bevisa?

Poängen med matematik är att man måste bevisa alla påståenden/satser innan de ses som sanna. Det enda undantagen är axiomen. 

Det är bra att bevisa att axiomen inte är motsägelsefulla. Och även att de inte implicerar varandra, för man vill inte ha onödiga axiom. 

parveln skrev:

Det räknas knappast som ett bevis eftersom det de visar är: Determinant nollskild medför att formeln gäller. De visar inte vad som händer om determinanten är 0. Man skulle kunna tänka sig att man då behöver en annan formel(så är ju såklart inte fallet). Men eftersom vi åtminstone har en formel om det(A) inte är 0 har vi visat $det\left(A\right)\ne 0\Rightarrow A inverterbar$. För att visa $A inverterbar\Rightarrow det\left(A\right)\ne 0$ Börjar vi med att anta A inverterbar. Då existerar en unik invers $A^{-1}$sådan att $I=A{A}^{-1}$.det(I)=1. $det\left(A{A}^{-1}\right)=det\left(A\right)*det\left(A^{-1}\right)$.

Eftersom produkten är lika med 1 kan ingen av faktorerna vara 0, alltså det(A)$\ne$0. Nu har vi alltså visat $A inverterbar \iff det\left(A\right)\ne 0$

Jag påstod inte någonstans i inlägget att det var ett bevis för ekvivalensen. Vänster-implikationen är trivial och jag ville inte anta något om vad TS kan och inte kan.

parveln skrev:

Ebola skrev:

Om du tittar på den analytiska lösningen i din egen länk så härleder de ett uttryck för inversen vilket innehåller division med determinanten. Således måste den vara nollskild för att inversen ska kunna beräknas.

Det räknas knappast som ett bevis eftersom det de visar är: Determinant nollskild medför att formeln gäller. De visar inte vad som händer om determinanten är 0. Man skulle kunna tänka sig att man då behöver en annan formel(så är ju såklart inte fallet). Men eftersom vi åtminstone har en formel om det(A) inte är 0 har vi visat $det\left(A\right)\ne 0\Rightarrow A inverterbar$. För att visa $A inverterbar\Rightarrow det\left(A\right)\ne 0$ Börjar vi med att anta A inverterbar. Då existerar en unik invers $A^{-1}$sådan att $I=A{A}^{-1}$.det(I)=1. $det\left(A{A}^{-1}\right)=det\left(A\right)*det\left(A^{-1}\right)$.

Eftersom produkten är lika med 1 kan ingen av faktorerna vara 0, alltså det(A)$\ne$0. Nu har vi alltså visat $A inverterbar \iff det\left(A\right)\ne 0$

 

Edit: 

Det jag är osäker på är om man kan bevisa?

Poängen med matematik är att man måste bevisa alla påståenden/satser innan de ses som sanna. Det enda undantagen är axiomen. 

Taack!, kan man alltså bevisa definitioner?

lamayo skrev:

parveln skrev:

Visa föregående citat

Ebola skrev:

Om du tittar på den analytiska lösningen i din egen länk så härleder de ett uttryck för inversen vilket innehåller division med determinanten. Således måste den vara nollskild för att inversen ska kunna beräknas.

Det räknas knappast som ett bevis eftersom det de visar är: Determinant nollskild medför att formeln gäller. De visar inte vad som händer om determinanten är 0. Man skulle kunna tänka sig att man då behöver en annan formel(så är ju såklart inte fallet). Men eftersom vi åtminstone har en formel om det(A) inte är 0 har vi visat $det\left(A\right)\ne 0\Rightarrow A inverterbar$. För att visa $A inverterbar\Rightarrow det\left(A\right)\ne 0$ Börjar vi med att anta A inverterbar. Då existerar en unik invers $A^{-1}$sådan att $I=A{A}^{-1}$.det(I)=1. $det\left(A{A}^{-1}\right)=det\left(A\right)*det\left(A^{-1}\right)$.

Eftersom produkten är lika med 1 kan ingen av faktorerna vara 0, alltså det(A)$\ne$0. Nu har vi alltså visat $A inverterbar \iff det\left(A\right)\ne 0$

 

Edit: 

Visa föregående citat

Det jag är osäker på är om man kan bevisa?

Poängen med matematik är att man måste bevisa alla påståenden/satser innan de ses som sanna. Det enda undantagen är axiomen. 

Taack!, kan man alltså bevisa definitioner?

Nej, definitioner kan inte bevisas. Nu har jag inte läst logik på någon djupare nivå, men jag skulle beskriva en definition som en klassificering eller uppdelning av matematiska objekt. Man kan t ex definiera vad en inverterbar matris är, och sen kan man bevisa att en viss matris(eller en viss klass av matriser) är inverterbera/icke-inverterbara

Laguna skrev:

Det är bra att bevisa att axiomen inte är motsägelsefulla. Och även att de inte implicerar varandra, för man vill inte ha onödiga axiom. 

Jovisst är det bra att bevisa, men om man har tillräckligt kraftfulla axiom är frågan hur man bevisar att de inte är motsägelsefulla utan att hamna i en "loop" utan slut

Kurt Gödel har bevisat att det inte går att skapa ett komplett system som beskriver hela matematiken.