Determinant och nollrummet (samband)
Sneglat på denna fråga och fastnat, i facit så sägerde att nollrummet har positiv dimension är ekvivalent med att determinanten är = 0.
Det är steg jag känner att jag inte har förståelse för.
Determinant = 0 tänker jag på en avbildning (transformation) så får arean att ändras med faktor 0, dvs squishar det till en dimension lägre än vad matrisen är. T.ex en transformation som lägger alla punkter på en linje (1d) för en 2x2 matris. Men varför är detta att nollrummet har positiv dimension?
Tack på förhand!
Tråd flyttad från > Högskoleprov till > Universitet. /Smutstvätt, moderator
Att nollrummet har positiv dimension betyder att F inte är injektiv (ett-till-ett).
Eller alternativt, F är injektiv om och endast om den enda lösningen till F(x) = 0 ges av x = 0.
Att F är injektiv är dessutom ekvivalent att kolonnerna i A är linjärt oberoende.
Således, om nollrummet har positiv dimension så måste kolonnerna i A vara linjärt beroende, men då är det(A) = 0, eftersom det(A) är skild från 0 om och endast om kolonnerna är linjärt oberoende.
Nollrummet handlar ju om vilka vektorer som blir nollvektorn efter en transformationen?
Vad har det med linjärt och ickelinjärt beroende att göra.
TÄnker om vi har R3 och så hamnar alla vektorer efter transformationen i ett plan, så är väl nollrummet 1 och värderummet 2 (dimensionmässigt)
Hur hänger det ihop med linjärt beroende/oberoende.
Är totalt lost. Tacksam för hjälp.
Precis.
Värderummet till F är det linjära spannet av kolonnerna i matrisen A. Om dessa är linjärt oberoende så utgör de en bas för R5 och spänner därför upp hela R5, dvs värderummet blir hela R5. Så dimensionen blir 5. Samtidigt så är det endast nollvektorn som avbildas till noll pga av oberoendet hos kolonnerna. Så dimensionen på nollrummet blir 0. Om kolonnerna är linjärt beroende så är de inte en bas och kan inte spänna upp hela R5. Dimensionen på värderummet är då mindre än 5. Det är dessutom inte bara nollvektorn som mappas till noll, så nollrummet får positiv dimension.
Det finns en sats som säger att summan nollrummets dimension och värderummets dimension är lika med dimensionen på definitionsmängden för F, dvs 5 i detta fall. Detta borde stå i er bok.
Tack för hjälpen, riktigt stort!
#Pantetera-Mera
Kanske ska plocka patent-rätt som valfri kurs nu också
Dags att käka lite Ćevapi nu för att fira att man klarat den.
