determinant och abels formel

Hej!

Har lite problem med en uppgift som berör determinanter. Ska visa att det(I + εA + O(ε^2)) = 1+εtr(A)+O(ε^2) där O(ε^2) är en matris vars norm är av ordningen ε^2. I hint står det att jag ska använda additionsregeln för determinanter och sambandet det(exp(tA)) = exp(t*trA).

Jag börjar med att skriva det(I + εA + O(ε^2)) = det(I + εA + O(ε^2) + exp(εA)-exp(εA)) = det(exp(εA)+O(ε^2)). Hur kan jag härifrån komma vidare?

Tack på förhand.

Hej!

Vad är det för additionsregel för determinanter du nämner? Talet det(A+B) är inte lika med summan det(A) + det(B), där A och B är kvadratiska matriser av samma typ.

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Vad är det för additionsregel för determinanter du nämner? Talet det(A+B) är inte lika med summan det(A) + det(B), där A och B är kvadratiska matriser av samma typ.
Albiki

Hej!

Det är den som säger att om en kolonn i en matris är summan av två kolonner så är determinanten summan av två determinanter där i den ena matrisen har vi den ena kolonnen och i den andra har vi den andra. Lite svårt att förklara men du känner säkert till den.

Hej!

Det du skrivit är nonsens, eftersom $\det(I+\epsilon A + O(\epsilon^2))$ är ett tal och $1 + \epsilon \text{tr}(A) + O(\epsilon^2)$ är en summa av två tal och en matris!

Det kanske istället ska stå

$\displaystyle \det(E + \epsilon A + M) = 1 + \epsilon \text{tr}(A) + O(\epsilon^2)$ där $\frac{1}{\epsilon^2}\cdot O(\epsilon^2)$ är en begränsad reellvärd funktion?

Albiki

Hej!

Symbolen $E$ betecknar enhetsmatrisen av samma typ som den kvadratiska matrisen $A$ , och $M$ betecknar en kvadratisk matris av samma typ som $A$ och vars matrisnorm är sådan att

$\displaystyle ||M|| \leq \epsilon^2 \cdot f(\epsilon)$ där $f$ är en begränsad reellvärd funktion.

Albiki

Hej!

Med hjälp av produktregeln $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ och determinanten för matrisexponentialen kan man skriva följande beräkning.

$\displaystyle \det(e^{t(E+\epsilon A + M)}) = \det(e^{tE}\cdot e^{t\epsilon A} \cdot e^{tM}) = \det(e^{tE}) \cdot \det(e^{t\epsilon A}) \cdot \det(e^{t M}) = e^{t\text{tr}(E)} \cdot e^{t\text{tr}(\epsilon A)} \cdot e^{t\text{tr}(M)} \ .$

Albiki

Albiki, O(epsilon^2) definierades som en matris. En ovanlig beteckning men den kan väl accepteras.

Uppgiften är nästan löst, bara att göra en lämplig uppskattning.

Albiki skrev :
Hej!
Med hjälp av produktregeln $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ och determinanten för matrisexponentialen kan man skriva följande beräkning.
$\displaystyle \det(e^{t(E+\epsilon A + M)}) = \det(e^{tE}\cdot e^{t\epsilon A} \cdot e^{tM}) = \det(e^{tE}) \cdot \det(e^{t\epsilon A}) \cdot \det(e^{t M}) = e^{t\text{tr}(E)} \cdot e^{t\text{tr}(\epsilon A)} \cdot e^{t\text{tr}(M)} \ .$
Albiki

I vänsterledet menar man att O(ε^2) är en matris och i högerledet menar man att O(ε^2) är ett reellt tal. Jag tror dessutom inte att man kan göra det omskrivningarna du gör. exp(A+B) = exp(A)exp(B) gäller om A och B kommuterar. I ditt fall så är det väl inte säkert att A och M kommuterar?

voun skrev :
I ditt fall så är det väl inte säkert att A och M kommuterar?

Korrekt.

voun har fått hjälp på Flashback.

Svara

Visa senaste svar