Determinant

Determinanten av en triangulär matris, dvs. en matris på formen $\left[\begin{array}{cccc}a& b& \cdots & k\\ 0& c& \ddots & l\\ 0& 0& \ddots & m\\ 0& 0& 0& n\end{array}\right]$, är lika med produkten av diagonalelementen. Kan du modifiera din matris till att skrivas på en triangulär form? :)

Nja, hur gör jag det?

Om du adderar rad ett till rad två får du: 

$\left|\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& \dots & 1& 1\\ -1+1& 1+1& 0+1& \dots +1& 0+1& 0+1\\ 0& -1& 1& \dots & 0& 0\\ 0& 0& -1& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & -1& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& \dots & 1& 1\\ 0& 2& 1& \dots & 1& 1\\ 0& -1& 1& \dots & 0& 0\\ 0& 0& -1& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & -1& 1\end{array}\right|$

Fortsätt på samma sätt för nedanstående rader. Vad händer? :)

Menar du att jag ska addera första raden till alla de andra? 

För då blir det ju $\left|\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& ...& 1& 1\\ 0& 2& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 2& ...& 1& 1\\ 1& 1& 0& ...& 1& 1\\ 1& 1& 1& ...& 0& 2\end{array}\right|$

då är det ettor där vi vill ha nollor

Inte riktigt, det var en oklar formulering av mig. Du kunde använda rad ett för att få en nolla i rad två. Du kan nu använda rad två för att få en nolla hos rad tre, och sedan rad tre för att få en nolla hos rad fyra, och så vidare. :)

Hej,

Uppgifter av denna typ löser du genom att känna till att determinanten inte ändras om du utför elementära radoperationer på den eller om du utför elementära kolumnoperationer på den.

Strategin är att utföra sådana operationer upprepade gånger till det att determinanten blir enkel att beräkna som  exempelvis determinanten för en triangulär matris.