Determinant

Hej, jag behöver lite hjälp med denna uppgift då den känns klurig!

Jag ska beräkna determinanten:

$|\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & - 2 & 1 \\ 6 & 1 & - 3 & 1 \\ 2 & - 3 & 1 & 2 \end{matrix}|$

Det första jag tänker på är att byta R1 med R4, då byts tecken från ''+'' till ''-''.

$|\begin{matrix} 2 & - 3 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & - 2 & 1 \\ 6 & 1 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}|$

Därefter R3 -> R3 - 3R1

$|\begin{matrix} 2 & - 3 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & - 2 & 1 \\ 0 & - 5 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}|$

Och här känner jag att jag gjort allt fel och att jag överkomplicerat detta...

Ett tips: översta raden innehåller många nollor. Då kan det vara smart att kofaktorutveckla längs den.

Har ni läst om kofaktorer? Den första raden är rensad så determinanten är $(-1)^{1+4}A_{14}$ vilket är en enkel 3x3.

AlvinB skrev:
Ett tips: översta raden innehåller många nollor. Då kan det vara smart att kofaktorutveckla längs den.

Då blir det $|\begin{matrix} 3 & 1 & - 2 \\ 6 & 1 & - 3 \\ 2 & - 3 & 1 \end{matrix}|$ som man sen bara beräknar på samma sätt som en 3x3 matris?

Jroth skrev:
Har ni läst om kofaktorer? Den första raden är rensad så determinanten är $(-1)^{1+4}A_{14}$ vilket är en enkel 3x3.

Jo men det var ett tag sen, jag har glömt. Minns inte varför man fick göra på det viset, jag minns att vi skulle få en triangel för att enkelt få fram determinanten

Supporter skrev:
AlvinB skrev:
Ett tips: översta raden innehåller många nollor. Då kan det vara smart att kofaktorutveckla längs den.
Då blir det $|\begin{matrix} 3 & 1 & - 2 \\ 6 & 1 & - 3 \\ 2 & - 3 & 1 \end{matrix}|$ som man sen bara beräknar på samma sätt som en 3x3 matris?

Nästan, bara ett minustecken framför också (när man kofaktorutvecklar får ju varannan term ett minustecken, så fjärde termen skall ha ett minustecken framför sig).

AlvinB skrev:
Supporter skrev:
AlvinB skrev:
Ett tips: översta raden innehåller många nollor. Då kan det vara smart att kofaktorutveckla längs den.
Då blir det $|\begin{matrix} 3 & 1 & - 2 \\ 6 & 1 & - 3 \\ 2 & - 3 & 1 \end{matrix}|$ som man sen bara beräknar på samma sätt som en 3x3 matris?
Nästan, bara ett minustecken framför också (när man kofaktorutvecklar får ju varannan term ett minustecken, så fjärde termen skall ha ett minustecken framför sig).

Men så det är alltid, oavsett vad, $|\begin{matrix} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{matrix}|$ ? Testade uppgiften igen, förstår inte riktigt varför man tar första raden och fjärde kolonnen.. är det för hela första raden har mest 0:or och ettan har en massor av ettor i samma kolonn?

Hej Supporter,

Determinanten kan utvecklas längs rad nummer 1 eftersom denna rad innehåller flera noll vilka förenklar beräkningen.

$\left|\begin{matrix}0&0&0&8\\3&1&-2&1\\6&1&-3&1\\2&-3&1&2\end{matrix}\right|=(-1)^{1+4}\cdot 8\cdot \left|\begin{matrix}3&1&-2\\6&1&-3\\2&-3&1\end{matrix}\right|.$

Notera att det ska vara $(-1)^{1+4}\cdot 8$ eftersom talet 8 finns på rad nummer 1 och kolumn nummer 4; jag bytte ut talet 1 mot talet 8 för illustrationens skull.

Den återstående determinanten av typ $3\times 3$ kan beräknas med hjälp av Sarrus regel; notera att Sarrus regel endast fungerar för determinanter av typ $3\times 3$ .

Albiki skrev:
Hej Supporter,
Determinanten kan utvecklas längs rad nummer 1 eftersom denna rad innehåller flera noll vilka förenklar beräkningen.
$\left|\begin{matrix}0&0&0&8\\3&1&-2&1\\6&1&-3&1\\2&-3&1&2\end{matrix}\right|=(-1)^{1+4}\cdot 8\cdot \left|\begin{matrix}3&1&-2\\6&1&-3\\2&-3&1\end{matrix}\right|.$
Notera att det ska vara $(-1)^{1+4}\cdot 8$ eftersom talet 8 finns på rad nummer 1 och kolumn nummer 4; jag bytte ut talet 1 mot talet 8 för illustrationens skull.
Den återstående determinanten av typ $3\times 3$ kan beräknas med hjälp av Sarrus regel; notera att Sarrus regel endast fungerar för determinanter av typ $3\times 3$ .

Okej, jag förstår nu hur jag ska beräkna det men om det inte var så många nollor, hur tar jag mig då till?

Svara

Visa senaste svar