determinant

Hej

jag skulle behöva lite hjälp med när man utvecklar när man ska räkna fram determinanten

Beräkna determinanten:

$|\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & - 1 & 1 & - 1 \\ 4 & 3 & 1 & - 5 & 0 \\ 3 & 2 & 2 & - 3 & 0 \\ 3 & 3 & 2 & 1 & - 1 \end{matrix}|$

Det jag har problem med är att veta vilken tecken man ska använda då man utvecklar längs en rad. Exempelvis ska man efter att ha tagit 3 gånger rad 1 till rad 2 och 1 gånger rad 1 till rad 5 få

$|\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 3 & 1 \\ 4 & 4 & 0 & 10 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & - 5 & 0 \\ 3 & 2 & 2 & - 3 & 0 \\ 4 & 3 & 3 & 4 & 0 \end{matrix}|$ och utveckla med ettan och får då $1 \times |\begin{matrix} 4 & 4 & 0 & 10 \\ 4 & 3 & 1 & - 5 \\ 3 & 2 & 2 & - 3 \\ 4 & 3 & 3 & 4 \end{matrix}|$ men när man sedan efter några operationer får matrisen $|\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 25 & 1 & - 11 \\ 1 & 16 & 2 & - 7 \\ 1 & 7 & 3 & - 2 \end{matrix}|$ och utvecklar med 2an så blir det ett negativt tecken framför och vi får $- 2 \times |\begin{matrix} 1 & 25 & 1 \\ 1 & 16 & 2 \\ 1 & 7 & 3 \end{matrix}|$

varför blir det positivt i första fallet men sedan negativt andra gången man utvecklar?

Hej JnGn,

Det beror på att kofaktorn $A_{jk}$ definieras av $A_{jk}=(-1)^{j+k}D_{jk}$ (där $D_{jk}$ är underdeterminanten till $a_{jk}$ ).

Tecknet beror alltså på om $j+k$ är udda eller jämnt.

Idén är att rensa någon rad eller kolonn så att alla element utom ett blir 0. Sedan tillämpas utvecklingssatsen på raden eller kolonnen ifråga.

Om vi tar ditt första exempel står etta i rad 1 kolonn 5, alltså är j=1, k=5 och j+k är ett jämnt tal, $(-1)^{j+k}$ blir därmed $+1$ .

I ditt andra exempel står 2:an i rad 1 kolonn 4, alltså är j=1, k=4 och j+k är ett udda tal, (-1)^{j+k} blir därmed $-1$ . Alltså ska vi multiplicera med $(-1)\cdot 2$ .

Verkar det komplicerat kan du memorera följande "teckenschema" istället:

$\begin{vmatrix}+ & - & + & - & \dots \\ - & + & - & + & \dots \\ + & - & + & - & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots &\dots\end{vmatrix}$

Svara