Deriveringsregler

daligpamatematik skrev:

Hej!

Jag förstår inte vad reglerna är när man först ska derivera. Är det tillåtet att förenkla uttrycket först? Vilka termer ska man derivera först? Hur kan jag tänka och vad kan jag utgå ifrån. Nedan är ett exempel.

$y=(\sqrt{x}-1)/\sqrt{x}$

Tack i förhand. 

Du kan förenkla uttrycket först, det är helt ok. Gällande vilka termer du ska derivera först borde det inte spela någon roll, särskilt i matte tre. Om du har en summa av flera funktioner, exempelvis $x^2 +\sqrt{x}$ är derivatan summan av de enskilda derivatorna. Alltså i detta fall derivatan av $x^2$ + derivatan av $\sqrt{x}$

Hej, tack för ditt svar!

Om det finns t.ex en andragradsfunktion eller en konstant i nämnaren då? Deriverar jag fortfarande de var för sig? 

Ur produktregeln är det enkelt att härleda hur man deriverar kvoter. Regeln, som jag formulerar nedan, brukar kallas för kvotregeln:

Låt $f$ och $g$ vara två på ett intervall $I$ deriverbara funktioner, där $g$ har nollskild derivata. Då är kvoten $z\left(x\right) := f\left(x\right)/g\left(x\right)$ också deriverbar på $I$ med derivatan:

$\displaystyle z'\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)f'\left(x\right)-g'\left(x\right)f\left(x\right)}{g\left(x\right)^2}$

daligpamatematik skrev:

Hej, tack för ditt svar!

Om det finns t.ex en andragradsfunktion eller en konstant i nämnaren då? Deriverar jag fortfarande de var för sig? 

Att derivera sådana funktioner gör du först i matte 4. Och då lär du dig bland annat produkt- och kvotregeln som naytte skrev men också kedjeregeln som gäller för alla sammansatta funktioner.

daligpamatematik skrev:

Hej, tack för ditt svar!

Om det finns t.ex en andragradsfunktion eller en konstant i nämnaren då? Deriverar jag fortfarande de var för sig? 

Ofta brukar dessa typer av funktioner bara kunna deriveras med deriveringsregler man lär sig i matte 4.

Situationer där vi kan ta derivatan med tekniker från matte 3 är exempelvis $\frac{x^2+2}{4}$. Vi kan skriva detta som $x^2 \cdot \frac 14 + 2 \cdot \frac 14$. När vi deriverar något som multipliceras med en konstant hänger den bara med. Så den första delen, $x^2 \cdot \frac 14$ har derivatan $2x \cdot \frac 14 = \frac x2$ och den andra delen är en konstant, vilket har derivatan 0. Alltså är derivatan till $\frac{x^2+2}{4}$ lika med $\frac{x}{2}$.

Ett annat exempel är något som $\frac{x^2}{\sqrt{x}}$. Vi kan skriva om detta till $\frac{x^2}{x^{0.5}} = x^{1.5}$ och detta kan vi ta derivatan på.

Ett exempel vi inte kan ta derivatan på är $\frac{x^2+x+1}{x+1}$. Vi kan inte, på ett enkelt sätt, förenkla detta till ett uttryck som vi kan derivera med matte 3 deriveringsregler. Då kan man exempelvis använda kvotregeln, vilket nyatte nämnde, men det är inte från matte 3.

Det är aldrig för tidigt att lära sig saker. Kvotregeln kan vara ganska användbar, även om den inte är nödvändig. Om du vill kan du ta det som en övning att härleda produktregeln med hjälp av derivatans definition. Produktregeln formuleras som:

Låt $f$ och $g$ vara två på ett intervall $I$ deriverbara funktioner. Då är produkten $z\left(x\right):=f\left(x\right)g\left(x\right)$ också deriverbar på $I$, med derivatan:

$\displaystyle z'\left(x\right) = f'\left(x\right)g\left(x\right)+g'\left(x\right)f\left(x\right)$

naytte skrev:

Det är aldrig för tidigt att lära sig saker. Kvotregeln kan vara ganska användbar, även om den inte är nödvändig. Om du vill kan du ta det som en övning att härleda produktregeln med hjälp av derivatans definition. Produktregeln formuleras som:

Låt $f$ och $g$ vara två på ett intervall $I$ deriverbara funktioner. Då är produkten $z\left(x\right):=f\left(x\right)g\left(x\right)$ också deriverbar på $I$, med derivatan:

$\displaystyle z'\left(x\right) = f'\left(x\right)g\left(x\right)+g'\left(x\right)f\left(x\right)$

Definitivt! Men man behöver också kunna kedjeregeln för att härleda fram kvotregeln. 

$z(x) := f(g(x))$, där f och g är deriverbara funktioner. z har derivatan

$z’(x) = f’(g(x)) \cdot g’(x)$

Men man behöver också kunna kedjeregeln för att härleda fram kvotregeln. 

Nej, det behöver man inte alls.

naytte skrev:

Men man behöver också kunna kedjeregeln för att härleda fram kvotregeln. 

Nej, det behöver man inte alls.

Hur behöver man inte det? När jag tänker på ett sätt att derivera fram kvotregeln tänker jag att 

Oj, jo det har du rätt i! Jag tyckte du skrev produktregeln, inte kvotregeln. Läste fel helt enkelt.

Kedjeregeln är dock en svår sats att bevisa helt rigoröst med standardanalys. Det är mycket enklare med infintesimaler :(.

Beviset för kedjeregeln är väl inte alls särskilt krångligt. Det är bara att man behöver ta hänsyn till två fall. 

Man behöver inte kedjeregeln för att härleda kvotregeln. Det går att bevisa från derivatans definition, eller genom produktregeln (förutsatt att $\frac{f(x)}{g(x)}$ är deriverbar).

Tillägg: 2 nov 2024 16:01

Om vi antar att $\frac{f}{g}=:h$ är deriverbar, så är $f = gh$, och produktregeln ger att $f'=g'h+gh'$, så $h'=\frac{f'-g'h}{g} =\frac{f'-g'\frac{f}{g}}{g}=\frac{f'g+g'f}{g^2}$.

MrPotatohead skrev:

Beviset för kedjeregeln är väl inte alls särskilt krångligt. Det är bara att man behöver ta hänsyn till två fall. 

Du får gärna visa vilken variant av beviset du har sett. Det finns en ganska vanlig variant som inte är alltför krånglig men problemet är att den inte gäller för generella funktioner.

@Gustor, om man vill använda produktregeln måste man ha kedjeregeln också. Annars går det inte att hitta h'.

Läste fel igen. Glöm det.

naytte skrev:

MrPotatohead skrev:

Beviset för kedjeregeln är väl inte alls särskilt krångligt. Det är bara att man behöver ta hänsyn till två fall. 

Du får gärna visa vilken variant av beviset du har sett. Det finns en ganska vanlig variant som inte är alltför krånglig men problemet är att den inte gäller för generella funktioner.

Vi körde denna:

Jo okej, det är fine. Det vanliga felet är att man inte gör falluppdelningen utan kör på det som ni betecknar som "fall 2" direkt och då blir det extremt knasigt.

Men det är ändå ganska krångligt att komma på själv jämfört med typ kvotregeln eller produktregeln.

naytte skrev:

Jo okej, det är fine. Det vanliga felet är att man inte gör falluppdelningen utan kör på det som ni betecknar som "fall 2" direkt och då blir det extremt knasigt.

Men det är ändå ganska krångligt att komma på själv jämfört med typ kvotregeln eller produktregeln.

Nää, det är inget bevis man vispar fram för att komma ihåg kedjeregeln direkt.

partiell gränsövergång är ej tillåtet, då kan man visa vad som helst… är detta från en lärobok?

Trinity2 skrev:

partiell gränsövergång är ej tillåtet, då kan man visa vad som helst… är detta från en lärobok?

Jag ser inget fel med argumentet. Vi har ju att $g(x) = g(a)$ i en omgivning av $a$. Om funktionen $h(x) = k$ är konstant i en omgivning av punkten $a$, så går $h(x)$ mot $k$ då $x$ går mot $a$.

Tar vi $h(x) =\frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x-a}$ så är $h=0$ då $0<|x-a|<\delta$. Alltså är gränsvärdena i ekv. 14 lika.

Jag håller med. Förstår inte var den successiva gränsövergången skulle vara.

Trinity2 skrev:

partiell gränsövergång är ej tillåtet, då kan man visa vad som helst… är detta från en lärobok?

Det är vår föreläsares variant av Persson och Böiers bevis av kedjeregeln i Analys i en variabel. Tycker det är ganska trevligt (mest för att det var så lätt att komma ihåg till tentan🤪).

Gustor skrev:

Man behöver inte kedjeregeln för att härleda kvotregeln. Det går att bevisa från derivatans definition, eller genom produktregeln (förutsatt att $\frac{f(x)}{g(x)}$ är deriverbar).

---

Tillägg: 2 nov 2024 16:01

Om vi antar att $\frac{f}{g}=:h$ är deriverbar, så är $f = gh$, och produktregeln ger att $f'=g'h+gh'$, så $h'=\frac{f'-g'h}{g} =\frac{f'-g'\frac{f}{g}}{g}=\frac{f'g+g'f}{g^2}$.

Juste! Så kan man också göra. 

tack så sjukt mycket för era svar!