Deriverings fråga med e som bas . Uppgift 3148

Du kan inte kalla rotenur(x^2+1) = x

Sen ser du ut som du är på rätt spår. Kan du inte derivera med de grundläggande reglerna är det kedje-, kvot- eller produktregeln.

Vi har deriveringsregler för e^x. Men e^(uttryck) har vi ingen regel för. Då är det kedjeregeln.

f(x)=e^x
g(x)=sqrt(x^2+1)

Men g(x) är inte heller deriverbar direkt. Då blir det kedjeregeln och vi gör om g(x):

g(x)=sqrt(x)
h(x)=x^2+1

Vi kan kolla att vi gjort rätt genom att utveckla:

f(g(h(x)))=e^(g(h(x))=e^(sqrt(h(x))=e^sqrt(x^2+1))

Sen är det dags att derivera.

Så långt kommer jag 

Du kommer inte göra rätt om du inte delar upp den också i en yttre och inre funktion. Nu fick du inte med inre derivatan (2x)

Add derivera med kedjeregeln i flera steg är enklare än vad man tror:

Om vi har f(g(x))) är ju derivatan
f'(g) * g'

Om vi har f(g(h(x))) är derivaten
f'(g(h)) * g'(h) * h'

Om vi har f(g(h(i(x)))) är derivatan
f'(g(h(i))) * g'(h(i)) * h'(i) * i'

Programmeraren skrev:

Du kommer inte göra rätt om du inte delar upp den också i en yttre och inre funktion. Nu fick du inte med inre derivatan (2x)

Hur ska jag få att inre derivatan är 2x?

Derivatan av x^2+1

Du kan inte göra på något annat sätt än med kedjeregeln i två steg.

Hela uttycket är f(g(h(x))):
f(x)=e^x
g(x)=sqrt(x)
h(x)=x^2+1

Men är inte funktionen sqrt (x^2 +1) ? Varför ska man nu enbart titta på det som bara står inom roten ur tecknet?

Det har jag aldrig sagt. Du visade din derivering av g(x). Men den innehöll bara deriveringen av den yttre funktionen. Dess inre funktion är ju x^2+1. Som har derivatan 2x. Som enligt kedjeregeln multipliceras med derivatan av yttre funktionen.

Stanna upp och tänk efter. Nu blir det förvirring av förvirringen.

Gör ingenting förrän du förstår följande:

Hela uttycket är f(g(h(x))):
f(x)=e^x
g(x)=sqrt(x)
h(x)=x^2+1

Yttre funktionen är e^x 

inre funktionen : sqrt(x) 

Inre funktionen av inre funktionen : x² + 1 

Derivatan är : 2x 

Är du med på att derivatan av alltihop blir (skrivet utan x);

f'(g(h)) * g'(h) * h'

$f(u(x))=e^{u(x)}$, där $u(x)= \sqrt{x^2+1}$ har derivatan $f'(u(x))= e^{u(x)} \cdot u'(x)$

Derivera $u(x)$ till att börja med.

Soderstrom skrev:

$f(u)=e^{u}$, där $u= \sqrt{x^2+1}$ har derivatan $f'(u)= e^{u} \cdot u'$

Derivera $u$ med avseende på $x$ till att börja med.

Vad händer med roten ur tecknet när man deriverar 

Kedjeregeln!

Hur menar du? Ska jag tänka inre funktionen x^2 +1 , derivatan blir då 2x och yttre funktionen sqrt(x^2 + 1) 

där derivatan blir ? 

Ja. Precis.

$u=\sqrt{x^2+1}$ har derivatan:

$\displaystyle u'=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x^2+1}} \cdot 2x=\frac{x}{ \sqrt{x^2+1}}$

Är du med på det?

Jag förstår inte riktigt. Vi har en inre funktion sqrt (x^2 +1) . För att kunna derivera den här funktionen måste vi även hitta inte funktionen av sqrt(x^2 +1) och yttre funktionen.  Som i det här fallet är x^2 + 1 . Derivatan blir 2x . Men den blir det stopp i hjärnan..? 

Ja men precis derivatan av inrefunktionen blir 2x. Helt rätt. Men du ska också derivera den yttrefunktionen. 

Vad blir derivatan av yttre funktionen?

Kolla #16

Soderstrom skrev:

$f(u)=e^{u}$, där $u= \sqrt{x^2+1}$ har derivatan $f'(u)= e^{u} \cdot u'$

Derivera $u$ med avseende på $x$ till att börja med.

Liten men viktig miss: Det är inte $f\left(u\right)=e^u$, då är $f'\left(u\right)=e^u$. Det bör vara $f\left(x\right)=e^{u\left(x\right)}$.

Tack Moffen. Har nu ändrat det! :D

Det är svårt att hänga med. Kan ni beskriva med ord hur jag ska gå tillväga?

$f(x)=e^{\sqrt{x^2+1}}$

$\displaystyle \frac{d}{dx} f(x)=\frac{d}{dx} e^{\sqrt{x^2+1}}=e^{\sqrt{x^2+1}} \cdot \frac{d}{dx} \sqrt{x^2+1}=...$

Nu måste du räkna lite!

det som kvarstår att ta inre derivatan gånger yttre derivatan.
Är det rätt så långt?

Inre derivatan är rätt. Ytterligare derivatan är fel.

Vad är derivatan av $\sqrt{x}$?

derivatan av sqrt(x) är ((1/2) • x )^-1/2

Hur ska man beräkna yttre derivatan?

Jag tror vi behöver ta det från början. En generell metod.

Kedjeregeln:
Om vi har f(g(x))) är derivatan
f'(g) * g'

Ok?

Är det klart att vi kan skriva om funktionen på det här sättet:

$$\begin{gathered} f\left(g\right(x\left)\right)=\sqrt{x^2+1} \\ f\left(x\right)=\sqrt{x} \\ g\left(x\right)=x^2+1 \end{gathered}$$

Hur menar du med 

”Om vi har f(g(x))) är derivatan
f'(g) * g'?

Kedjeregeln. Jag skrev utan x för att slippa så många parenteser. Det viktiga är att se vilka delfunktioner som ska deriveras och vilka som hamnar var.

Man kan skriva med x: Derivatan är

f'(g(x)) * g'(x)

Samma sak fast lite mer parenteser.

Är du med på hur jag skriver?

Och viktigare: är du med på uppdelningen ovan till yttre f(x) och inre g(x)?

Programmeraren skrev:

Kedjeregeln. Jag skrev utan x för att slippa så många parenteser. Det viktiga är att se vilka delfunktioner som ska deriveras och vilka som hamnar var.

Man kan skriva med x: Derivatan är

f'(g(x)) * g'(x)

Samma sak fast lite mer parenteser.

Är du med på hur jag skriver?

Och viktigare: är du med på uppdelningen ovan till yttre f(x) och inre g(x)?

Vart försvinner e när man ska derivera f’(g(x))*g’(x)

Jag försöker lära dig derivera. Det var ett exempel. Exemplet innehåller inget e.

Eftersom jag började med kedjeregeln använde jag f(g(x)). Det har inget med uppgiftens funktion att göra. Det kanske var förvirrande.

Vi kommer dit sen. Men jag kan byta bokstäver:

Kedjeregeln:
Om vi har g(h(x))) är derivatan
g'(h) * h'

Ok?

Ja!!!! Du skriver dock "inre" två gånger. 

I övrigt, kan du förenkla och skriva ett slutgiltigt svar?

Det ser bra ut. Nu ska vi titta på vad som händer när man måste använda 3 funktioner.

behöver jag inte beräkna derivatan av e^Z ? Z=sqrt(x² +1)  , dvs derivatan av yttre funktionen 

Som sagt, vi kommer dit.

Nu ska vi titta på f(g(h(x)))

Rent generellt. Vänta med talet i uppgiften.

 f(g(h(x))) har derivatan

f'(g(h(x)) * g'(h(x)) * h'(x)

Ser du mönstret?

Soderstrom skrev:

Ja!!!! Du skriver dock "inre" två gånger. 

I övrigt, kan du förenkla och skriva ett slutgiltigt svar?

Är det så @söderström menar med förenkla 

Programmeraren skrev:

Som sagt, vi kommer dit.

Nu ska vi titta på f(g(h(x)))

Rent generellt. Vänta med talet i uppgiften.

 f(g(h(x))) har derivatan

f'(g(h(x)) * g'(h(x)) * h'(x)

Ser du mönstret?

Nej blir helt ärligt bara förvirrad av det du skriver 

Då backar vi till första steget i kedjeregeln.

Om vi har funktionen f(g(x))

så är derivatan enligt kedjeregeln

f'(g(x)) * g(x)

Ok?

Japp

Exempel (inte uppgiften):

$\sqrt{x^2+1}$

Om den skrivs som f(g(x)), vad är f(x) och g(x)?

f(x)=sqrt(x²+1) och g(x)=x² + 1

Inte riktigt:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\sqrt{x} \\ g\left(x\right)=x^2+1 \end{gathered}$$

Att det är f(x) kan kanske kännas förvirrande men en funktion är bara en mall. Det man stoppar in som x ersätter symbolen  på alla ställen.

$$\begin{gathered} f\left(3\right)=\sqrt{3} \\ f\left(fiskmås\right)=\sqrt{fiskmås} \\ f\left(g\right(x\left)\right)=\sqrt{g\left(x\right)}=\sqrt{x^2+1} \end{gathered}$$

Det Programmeraren vill visa är hur man ska tänka vid derivering av en funktion. Derivata består av ett x antal regler. Du ska lära dig dom för att sedan kunna använda dom. När du väl lär dig dom bra, är själva användningen inte så svårt. Så mitt tips är att fokusera på att förstå reglerna! Du är en duktig elev och det kommer du lära dig :-)

Programmeraren skrev:

Inte riktigt:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\sqrt{x} \\ g\left(x\right)=x^2+1 \end{gathered}$$

Att det är f(x) kan kanske kännas förvirrande men en funktion är bara en mall. Det man stoppar in som x ersätter symbolen  på alla ställen.

$$\begin{gathered} f\left(3\right)=\sqrt{3} \\ f\left(fiskmås\right)=\sqrt{fiskmås} \\ f\left(g\right(x\left)\right)=\sqrt{g\left(x\right)}=\sqrt{x^2+1} \end{gathered}$$

Varför ska inte f(x) vara lika med hela yttre funktionen? Dvs hela uttrycket som är sqrt(x²+1)? Varför ska yttre funktionen enbart vara sqrt(x)?

Soderstrom skrev:

Det Programmeraren vill visa är hur man ska tänka vid derivering av en funktion. Derivata består av ett x antal regler. Du ska lära dig dom för att sedan kunna använda dom. När du väl lär dig dom bra, är själva användningen inte så svårt. Så mitt tips är att fokusera på att förstå reglerna! Du är en duktig elev och det kommer du lära dig :-)

Jag håller med! Grunden är viktig att kunna innan man bygger på med svårare uppgifter :)

Om vi tar med allt under rottecknet i yttre funktionen har vi ju inte gjort någon uppdelning. Då är det ju samma funktion.

En funktion är en mall.

Vi skrev om $\sqrt{x^2+1}$ på formen f(g(x))

g(x) är inre funktionen

f(x) är yttre funktionen.

Det under rottecknet kommer att komma med eftersom kedjeregeln är

f'(g(x)) * g'(x)

Alltså f(x) som är den yttre funktionen står för det som är inom parentesen. Alltså 

y=sqrt(x²+1) 

inre funktion g(x)=x²+1

yttre funktion z(x)=sqrt(x)

ok så långt är jag med

Jag har löst uppgiften. Gå gärna igenom alla steg och ställ frågor ifall du inte hänger på ett visst steg. 

Ok, vi kör med de namnen. Nu deriverar vi (tar det i mindre steg än man tar sen men nu för tydlighet):

$$\begin{gathered} z\left(x\right)=\sqrt{x} \\ z\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ g\left(x\right)=x^2+1 \\ g\text{'}\left(x\right)=2x \end{gathered}$$

Ok?

Soderstrom skrev:

Jag har löst uppgiften. Gå gärna igenom alla steg och ställ frågor ifall du inte hänger på ett visst steg. 

Nu fattar jag….!! Det som var svårt för mig var att förstå hur jag skulle hantera en exponent som har ett roten ur tecken.. Så himla bra känsla att äntligen förstå! Tackkk till programmeraren och Söderström!

Jag tror vi bör följa metoden till mål. Är du med på #51 ?

Sen kommer kedjeregeln:

Derivatan av z(g(x)) är

z'(g(x)) * g'(x)

Då sätter vi bara in i våra funktioner:

$\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\times 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2}+1}$

Ja jag är med på det steget

Och är du med på hur jag satte ihop det i #53 ?

Ja du delade med 2 i täljaren och nämnaren så 2:an ströks bort 

Det viktiga är att hopsättningen, t ex första delen z'(g(x)):

$$\begin{gathered} z\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ g\left(x\right)=x^2+1 \\ z\text{'}\left(g\right(x\left)\right)=\frac{1}{2\sqrt[]{x^2+1}} \end{gathered}$$

Kan vi göra klart metoden?

Programmeraren skrev:

Det viktiga är att hopsättningen, t ex första delen z'(g(x)):

$$\begin{gathered} z\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ g\left(x\right)=x^2+1 \\ z\text{'}\left(g\right(x\left)\right)=\frac{1}{2\sqrt[]{x^2+1}} \end{gathered}$$

Oki jag är med så långt 

Sammanfattning

En funktion delas upp i inre och yttre funktion på formen f(g(x))
Den yttre upprepar INTE den inre, (då är det ingen uppdelning)
Derivatan är f'(g(x) * g'(x)

Nu ska vi derivera med 3 funktioner

Vilka är de tre funktionerna?

$$\begin{gathered} f\left(g\right(h\left(x\right)\left)\right)=e^{\sqrt{x^2+1}} \\ f\left(x\right)=e^x \\ g\left(x\right)=\sqrt{x} \\ h\left(x\right)=x^2+1 \end{gathered}$$

Är du med på uppdelningen i yttre och inre funktioner?

Kan man säga att det finns 2 stycken inre funktioner? Dels sqrt(x) och dels x² + 1 

Typ så.
f:s inre funktion är g
g:s inre funktion är h

Men
g:s yttre funktion är f
h:s yttre funktion är g

Precis som kedjeregeln ger att derivaten för f(g(x)) är
f'(g'(x)) * g'(x)

så blir det samma mönster för f(g(h(x))). Derivatan är

f'(g(h(x)) * g'(h(x) * h'(x)

Okej det blev klarare nu för hur jag ska tänka. Det är mycket information som måste matas in

Vi tar delarna en och en. Första delen:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=e^x \\ f\text{'}\left(g\right(h\left(x\right)) = e^{\sqrt{x^2+1}} \end{gathered}$$

Ok?

Har du möjlighet att ge mig en liknande uppgift som jag kan få lösa så att vi tillsammans kan dubbelkolla att jag har förstått alla steg? Och att jag förstår hur man ska lösa sån typ av uppgift?

Imorgon! Men är du med på första delen av f'(g(h)) * g'(h) * h', dvs f'(g(h)) i #69 ?

Programmeraren skrev:

Vi tar delarna en och en. Första delen:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=e^x \\ f\text{'}\left(g\right(h\left(x\right)) = e^{\sqrt{x^2+1}} \end{gathered}$$

Ok?

Ska det inte stå f( ) istället för f’()?

Programmeraren skrev:

Imorgon! Men är du med på första delen av f'(g(h)) * g'(h) * h', dvs f'(g(h)) i #69 ?

Kan du inte snälla bara ge mig en fråga nu som jag kan få lösa .. Du kan kolla igenom imorgon om jag har räknat rätt … Vill få den här uppgiften klar så jag kan gå vidare med mina andr frågor 

Vi ska ju ha f' enligt kedjeregeln. Nu råkar derivatan av e^x vara e^x så blir samma men det ska stå f'

Vi är inte klara!!!!!!!!!

Aha okej.. Måste man kunna det här😭 Det är svårt  alla de här reglerna om g(x) h(x)😂Matte 4 dödar mig 

Det är kedjeregeln. Ingen ny regel. Du kommer förstå det snart.

Är du med på den första delen av f'(g(h(x)) * g'(h(x) * h'(x) ?

Att den blev som det står i #69?

Programmeraren skrev:

Är du med på den första delen av f'(g(h(x)) * g'(h(x) * h'(x) ?

Att den blev som det står i #69?

Ja så långt är jag med

Derivera $\displaystyle f(x)=2x \cdot sin(x^2)$

Andra delen av f'(g(h(x)) * g'(h(x) * h'(x) är

g'(h(x))

$$\begin{gathered} g\left(x\right)=\sqrt{x} \\ g\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ h\left(x\right)=x^2+1 \\ g\text{'}\left(h\right(x\left)\right)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \end{gathered}$$

Ok?

Programmeraren skrev:

Andra delen av f'(g(h(x)) * g'(h(x) * h'(x) är

g'(h(x))

$$\begin{gathered} g\left(x\right)=\sqrt{x} \\ g\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ h\left(x\right)=x^2+1 \\ g\text{'}\left(h\right(x\left)\right)=\frac{1}{2\sqrt{x^2}+1} \end{gathered}$$

Ok?

Jag hänger inte med på hur du beräknar g’(h(x))

Soderstrom skrev:

Derivera $\displaystyle f(x)=2x \cdot sin(x^2)$

Detta är fullständigt meningslöst om vi ska ha ett annat tal mitt i.

Vi kan fortsätta programmeraren… Jag är med på din förklaring så långt.. 

Du frågade om g'(h(x)). Vad är oklart?

Katarina, borste från min kommentar och fokusera på vad Programmeraren skriver.

Programmeraren skrev:

Andra delen av f'(g(h(x)) * g'(h(x) * h'(x) är

g'(h(x))

$$\begin{gathered} g\left(x\right)=\sqrt{x} \\ g\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ h\left(x\right)=x^2+1 \\ g\text{'}\left(h\right(x\left)\right)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \end{gathered}$$

Ok?

Aha nu förstår jag hur du fick g’(h(x))

Slutligen har vi sista delan i f'(g(h(x)) * g'(h(x) * h'(x)

h'(x)=2x

Tillsammans har vi hela derivatan.

Ok?

Ja .. Jag tror att jag börjar förstå… Men det är mycket att mata in som sagt .. 

Det är vanliga kedjeregeln. Om du tänker att g(x) inte hade haft en någon h(x) i sig hade derivatan varit vanliga kedjeregeln:

f'(g(x) * g'(x)

Men om nu g(x) egentligen är g(h(x)) måste vi ju ta hand om inre derivaten i g'(x):

f'(g(x) * g'(x) = f'(g(x) *  ( g'(h(x) * h'(x) )

Ok?

Ja … det är mycket att hålla koll på :)

Är vi klara med metoden? 

Nästan. Nu kommer det bästa. Trumvirvel.

Säg att du har

$\sin \left(e^{\sqrt{x^2+1}}\right)$

Då är det 4 funktioner!

f(g(h(i(x))))

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\sin x \\ g\left(x\right)=e^x \\ h\left(x\right)=\sqrt{x} \\ i\left(x\right)=x^{2+}1 \end{gathered}$$

Och derivatan är:

f'(g(h(i(x)))) * g'(h(i(x))) * h'(i(x)) * i'(x)

Är det inte vackert? Samma mönster om det blir 18 funktioner

Okej.. Jag tycker att det här är överkurs för mig .. Det är jätte svårt … Jag har förstått vad du skrev innan men inte det sista du skrev 

Ok. Jag hoppades att skulle se att när man delar in en funktion i inre funktioner så blir det inte svårare. Det blir bara samma sak. Och att deriveringen bara sker av en funktion i taget och dess inre funktioner bara stoppas in som de är.

Derivatan av ovan blir

$\cos \left(g\right(x\left)\right) * e^{h\left(x\right)} * \frac{1}{2\sqrt{i\left(x\right)}}*2x$

(fast man sätter in respektive inre funktion förstås)

Det är som en kejda. En derivata i taget. Resten är bara att stoppa in.

Jo du har rätt det är enklare med hjälp av din metod. När man vet vadf(x) , g(x) och h(x) och i(x) är ska man derivera varje funktion/uttryck för sig och sen multiplicera med varandra

Exakt så. Väldigt liten risk att blanda ihop massa lösa "extrafunktioner" som deriveras i olika ordning.

Okej. Jag hoppas att jag har lyckats uppfatta det här rätt :) . Hur kan jag dubbelkolla om jag nu förstår hur man löser en liknande uppgift?

I alla derivering med kedjeregeln kan du göra så här (med yttre funktionen utan inre funktionen)

Och i de deriveringar där det krävs 3 funktioner förstås.

Många av talen de senaste dagarna har varit av den typen även om denna kanske var första med 3 funktioner.

Jag ska göra en ny tråd där du kan ge ett exempel på en liknande uppgift som jag kan lösa. Detta så att vi kan säkerställa att kunskapen sitter