Derivering utav cosinus- och sinus-funktioner

Duckster skrev:

Derivera funktionen: $f\left(x\right)=\cos (x^4-x^3+5x^2+4x)$

Vet att derivatan av cos(x) är -sin(x) men vad händer med resten av talet??

 Produktregeln 

Om jag minns rätt. 

Inre derivata multiplicerat med yttre derivata.

EDIT: Nu kom jag på vad det heter, derivering av sammansatta funktioner.

Juste! Delar jag in det såhär..?
g(x) = $\cos$
h(x) = $x^4-x^3+5x^2+4x$

Så att det blir:

$$\begin{gathered} g´\left(x\right)=-\sin \\ h´\left(x\right)=4x^3-3x^2+10x+4 \end{gathered}$$

?

Duckster skrev:

Juste! Delar jag in det såhär..?
g(x) = $\cos$
h(x) = $x^4-x^3+5x^2+4x$

Så att det blir:

$$\begin{gathered} g´\left(x\right)=-\sin \\ h´\left(x\right)=4x^3-3x^2+10x+4 \end{gathered}$$

?

 Ja! Nu multiplicerar du dem med varandra.

EDIT: Eller nej vänta här nu. g(X) = cos(x^4 - x^3 + 5x^2+4x)
och g'(x)=-sin(x^4-x^3+5x^2+4x)(4x^3-3x^2+10x+4)

Så svaret skulle bli:

$f´\left(x\right)=-\sin (x^4-x^3+5x^2+4x)+\cos (4x^3-3x^2+10x+4)$ ?? =)

Duckster skrev:

Så svaret skulle bli:

$f´\left(x\right)=-\sin (x^4-x^3+5x^2+4x)+\cos (4x^3-3x^2+10x+4)$ ?? =)

 Njaa jag tror att svaret ska bli 

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\cos (x^4-x^3+5x^2+4x) \\ f\text{'}\left(x\right)=-\sin (x^4-x^3+5x^2+4x)(4x^3-3x^2+10x+4) \end{gathered}$$

Korra har rätt, det gäller nämligen enligt kedjeregeln att:

$\frac{d}{dx} \cos g(x) =$

$-\sin g\left(x\right)·g\text{'}\left(x\right)$

Ahaa nu förstår jag! Tack!!

Hej

Det är lite otydligt vad du har gjort i ditt senaste inlägg. Du ska derivera en sammansatt funktionen $f\left(x\right)=g\left(h\right(x\left)\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=g\text{'}\left(h\right(x\left)\right)h\text{'}\left(x\right)$.

Du har allt du behöver så det är bara och ersätta värdena.

En sak du måste tänka på är att du skriver $\cos$ och $\sin$ utan något argument vilket är fel. Korrekt är $g\left(x\right)=\cos \left(x\right)\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=-\sin \left(x\right)$ (beroende på vilken variabel du använder i det här fallet $x$). 

Duckster skrev:

Ahaa nu förstår jag! Tack!!

 Varsågod!

Rekommenderar att du läser igenom Sammansatta funktioner 2-3 gånger och sedan gör du massor av övningsuppgifter, hitta gärna på egna. Så att det sitter lika bra som gångertabellen.

Om jag nu har $f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\sin \left(\cos \right(x+2\left)\right)$

Skulle derivatan då bli:

$f´\left(x\right)=\cos \left(\cos \right(x+2\left)\right)(-\sin (x+2\left)\right)$ ?? 

Duckster skrev:

Om jag nu har $f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\sin \left(\cos \right(x+2\left)\right)$

Skulle derivatan då bli:

$f´\left(x\right)=\cos \left(\cos \right(x+2\left)\right)(-\sin (x+2\left)\right)$ ?? 

 $$\begin{gathered} f\left(x\right)=\sin \left(\cos \right(x+2\left)\right) \\ f\text{'}\left(x\right)=-\sin (x+2)·1·\cos \left(\cos \right(x+2\left)\right) \end{gathered}$$

Säg till om du vill att jag ska förklara.



EDIT:

Ändrade      $f\text{'}\left(x\right)=-\sin \left(x\right)·1·\cos \left(\cos \right(x+2\left)\right)$
till                $f\text{'}\left(x\right)=-\sin (x+2)·1·\cos \left(\cos \right(x+2\left)\right)$

Ja gärna! 

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=g\left(h\right(x\left)\right) \\ f´\left(x\right)=g´\left(h\right(x\left)\right)h´\left(x\right) \end{gathered}$$

Tänker att sin = g ? Därav att det blir cos som derivata?

Duckster skrev:

Ja gärna! 

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=g\left(h\right(x\left)\right) \\ f´\left(x\right)=g´\left(h\right(x\left)\right)h´\left(x\right) \end{gathered}$$

Tänker att sin = g ? Därav att det blir cos som derivata?

 Okej hör på my young padwan. 

Du har $f\left(x\right)=\sin \left(\cos \right(x+2\left)\right)$   
Nu skriver vi om $\cos (x+2) =b$ för enkelhetens skull

Nu har vi då $f\left(x\right)=\sin \left(b\right)$ 
och derivatan av det  är $f\text{'}\left(x\right)=\cos \left(b\right)·b\text{'}$ 

EDIT:  Det är samma sak som när du har
 $$\begin{gathered} f\left(x\right)=\cos \left(x\right) \\ b=x \\ f\text{'}\left(x\right)=-\sin \left(x\right)·b\text{'} \end{gathered}$$
Du vet ju att derivatan av x = 1 så det blir lättare att se det när det bara står "derivera cos(x)"

Alltså, den yttre funktionens derivata multiplicerat med den inre funktionens derivata

Yes! Så långt är jag med =)

Duckster skrev:

Yes! Så långt är jag med =)

 Bra bra, hoppas inte du missade min kommentar. 
Nu får du se upp för tjat! 

"Rekommenderar att du läser igenom Sammansatta funktioner 2-3 gånger och sedan gör du massor av övningsuppgifter, hitta gärna på egna. Så att det sitter lika bra som gångertabellen."

I fortsättningen är det bra om du postar nya frågor i egna trådar, så blir det lättare för framtida elever att hitta dem. /Smutstvätt, moderator