Derivering under integrationstecknet

Integralen

$\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{1}{s+x^2}\ dx$

kan du beräkna och därmed få fram ett uttryck för $F(s)$ uttryckt i enbart $s$. Sedan kan du derivera detta uttryck två gånger för att få fram ett uttryck för $F''(s)$.

Hej!

Din uppgift är alltså att bestämma talet

    $\int_0^\infty\frac{1}{(1+x^2)^3}dx$

med hjälp av funktionen

    $\displaystyle F(s) = \int_0^\infty\frac{1}{s+x^2}dx$.

Funktionens derivata är lika med funktionen

    $\displaystyle F'(s) = \int_0^\infty(\frac{\partial }{\partial s}\frac{1}{s+x^2})dx = \int_0^\infty -\frac{1}{(s+x^2)^2}dx$

och derivatan av denna funktion ger andraderivatan

    $\displaystyle F''(s) = 2\int_0^\infty \frac{1}{(s+x^2)^3}dx$

Talet som du vill bestämma är lika med talet $0.5\cdot F''(1)$.

För att detta ska vara meningsfullt måste du ha ett explicit uttryck för hur funktionen $F$ beror på variabeln $s$.