Derivering av invecklad integral , där f_z är en densitetsfunktion (Systemteknik)

Hej! 

Testa att byta ut integralerna mot vad de är: nämligen att (på mobilen ingen fin formelskrivare) integral från a till b av f(x)dx är F(b)-F(a), och utnyttja att F'(x) = f(x). Får du till det då? 

Har fösökt att få till det med definitionerna du skrev ovan men inte lyckats. Blir svårt i å med x och z i uttrycken men försöker igen

Bifogar densiteten här

Okej. Men det du får är alltså att derivatan av integralen blir ju f(b)-f(a), vilket du redan har uttrycken av (det som står innanför integralen!). Sedan är det ju bara att substituera in det som är i integralens ändpunkter. Vad får du då? 

Välkommen till Pluggakuten!

Inför beteckningarna

    $G(x) = \int_{0}^{x} g(x,z)\, dz \text{ och } H(x) = \int_{x}^{\infty}h(x,z)\,dz$

där

    $g(x,z) = 400 z - 50(x-z) \text{ och } h(x,z) = 400x - 100(z-x)$

så att du kan skriva

    $P(x) = 300N - 300x + G(x) + H(x).$

Derivatan $P'$ beräknas då till

    $P'(x) = -300 + G'(x) + H'(x)$,

där derivatorna $G'$ och $H'$ beräknas med hjälp av Leibniz integreringsregel. 

$G'(x) = 1 \cdot g(x,x) - 0 \cdot g(x,0) + \int_{0}^{x} \frac{\partial}{\partial x} g(x,z)\,dz$,

och om man fuskar med hanteringen av $\infty$ som om symbolen betecknar ett tal (vilket $\infty$ inte är) som är sådant att $\pm\infty \cdot 0 = 0$ så får man derivatan

    $H'(x) = 0 \cdot h(x,\infty) - 1 \cdot h(x,x) + \int_{x}^{\infty}\frac{\partial }{\partial x} h(x,z)\,dz$.

Notera att $g(x,x) = 400x$ och $g(x,0) = -50x$ och $h(x,\infty) = -\infty$ och $h(x,x) = 400 x$ samt att de partiella derivatorna är $\frac{\partial }{\partial x} g(x,z) = -50$ och $\frac{\partial }{\partial x}h(x,z) = 500$ vilket ger 

    $G'(x)=400x-\int_{0}^{x}50\,dz = 350x \text{ och } H'(x) = -400x + \int_{x}^{\infty}500\,dz$

Fantastisk regel, tack!

Inom integraltecknet i både G' och H' ovan saknas för denna fråga även multiplikation med densiteten f_z(z) 

La till den i mina antecknar och får lösningen jag bifogat högst upp* 

crystalu skrev:

Inom integraltecknet i både G' och H' ovan saknas för denna fråga även multiplikation med densiteten f_z(z) 

La till den i mina antecknar och får lösningen jag bifogat högst upp* 

 Oj, jag glömde att inkludera funktionen $f_{z}$ i integralerna; då blir det helt andra resultat när man deriverar än de som jag tidigare skrev. 

Inför beteckningarna

    $G(x) = \int_{0}^{x} g(x,z)f_{Z}(z)\,dz \text{ och } H_{k}(x) = \int_{x}^{k}(h(x,z))f_{Z}(z)\,dz$ där $k > x > 0$ är ett fixerat tal,

så att funktionen $P_k$ kan skrivas

    $P_k(x) = 300N - 300x + G(x) + H_k(x)$;

tanken är att derivera $P_k$ med avseende på $x$ och se vad som händer med derivatan när $k \to \infty$; då litar jag på att det går att byta plats på derivering och gränsövergång så att

    $\lim_{k\to \infty}P_k^{\prime}(x) = P'(x)$ där $P = \lim_{k\to\infty}P_k$.

Med integreringsregeln får man derivatorna

    $\displaystyle G'(x) = 1 \cdot g(x,x)f_{Z}(x) + 0\cdot g(x,0)f_{Z}(0) + \int_{0}^{x}f_{Z}(z)\frac{\partial}{\partial x} g(x,z)\,dz = 400xf_Z(x)-50\int_{0}^{x}f_{Z}(z)\,dz$

och

    $\displaystyle H_k'(x) = 0\cdot h(x,k)f_{Z}(k)-1\cdot h(x,x)f_{Z}(x)+\int_{x}^{k} f_{Z}(z)\frac{\partial}{\partial x} h(x,z)\,dz = -400xf_{Z}(x) + 500\int_{x}^{k}f_{Z}(z)\,dz$.

Det ger derivatan

    $\displaystyle P_k'(x)=-300+400xf_{Z}(x)-50\int_{0}^{x}f_{Z}(z)\,dz-400xf_{Z}(x)+500\int_{x}^{k}f_{Z}(z)\,dz=-300-50\{F_Z(x)-F_Z(0)\}+500\{F_Z(k)-F_Z(x)\}$

där $F_{Z}(t) = \int_{0}^{t}f_{Z}(z)\,dz$ är fördelningsfunktionen för täthetsfunktionen $f_{Z}$.

Det gäller att $F_Z(0) = 0$ och $F_Z(k) \to 1$ när $k \to \infty$, vilket visar att

    $\displaystyle\lim_{k\to\infty} P_k'(x) = -300-50F_Z(x) +500\{1-F_Z(x)\}.$