derivering

Har du tagit hänsyn till nämnarens inrederivata när du deriverat? 

JnGn skrev:

Hej

jag har ett problem när jag ska derivera så får jag inte fram rätt täljare.

Uppgiften är:

Finn största värde av funktionen $f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{2x^3+27}}$

jag började med att derivera m.h.a produktregeln och fick då $\frac{\sqrt{2x^3+27}-x*{\displaystyle \frac{3x^2}{{\left(2x^3+27\right)}^{3/2}}}}{2x^3+27}$ men sedan ska man få $\frac{2x^3+27-3x^3}{{\left(2x^3+27\right)}^{3/2}}$ jag förstår inte hur man får fram täljaren. 

Du kan använda kvotregeln till denna, men om du vill använda produktregeln $\left(fg\right)\text{'}=fg\text{'}+f\text{'}g$ så kan du sätta:

$f=x$

$g=(2x^3+27{)}^{-0,5}$

Då får du att 

$f\text{'}=1$

$g'=(-0,5)\cdot(2x^3+27)^{-1,5}\cdot(3\cdot2x^2)=-3x^2\cdot (2x^3+27)^{-1,5}$

Derivatan blir då $x·(-3x^2)·(2x^3+27{)}^{-1,5}+1·(2x^3+27{)}^{-0,5}$

Förenkla:

$-3x^3·(2x^3+27{)}^{-1,5}+(2x^3+27{)}^{-0,5}$

Bryt ut $(2x^3+27{)}^{-1,5}$:

$(2x^3+27{)}^{-1,5}·(-3x^3+(2x^3+27))$

Kommer du vidare nu?

Hej!

Funktionens definitionsmängd är intervallet $D_f = [-2,\infty).$

För att ta reda på hur funktionen beter sig när $x$ är väldigt stort skrivs funktionen som

    $\displaystyle f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{x+\frac{27}{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{x+\frac{27}{x^2}}}.$

Om $x>0$ är mycket stort är $\sqrt{x+\frac{27}{x^2}} \approx \sqrt{x}$ så att

    $\displaystyle f(x) \approx \frac{1}{\sqrt{x}} \approx 0.$

För derivering på det öppna intervallet $(-2,\infty)$ används uttrycket

    $\displaystyle f(x) = (x+27x^{-2})^{-0,5}.$

Derivatan är som följer.

$\displaystyle f'(x) = -0,5(x+27x^{-2})^{-1,5}\cdot (1-2\cdot 27x^{-3}).$

Derivatan är lika med noll när $1-2\cdot 27x^{-3} = 0$ det vill säga när $x=...$.

När $1-54x^{-3} > 0$ så är derivatan negativ, och när $1-54x^{-3} <>$ så är derivatan positiv; funktionen $f$ har därför ett lokalt (vadå?) när $x = ...$.