Derivering

Hej! Behöver hjälp med en uppgift.

En vattentank i form av en rät cirkulär kon har spetsen vänd nedåt. Basytans radie är 6 m. Tankens djup är 8 m. Vatten fylls på med hastigheten 0,1 $m^3/min$. Med vilken hastighet stiger vattenytan då vattendjupet är 4 m?

Jag gjorde på följande sätt. Först löste jag ut vattenytans höjd i konen från ekvationen för konens volym, och fick då

$h\left(t\right)=\frac{3V\left(t\right)}{\pi r^2\left(t\right)}$

där V(t) är vattenvolymen och r(t) radien hos vattenytan vid tiden t. Vi vill veta hur snabbt vattenhöjden stiger, varför vi deriverar uttrycket. Jag orkar inte skriva ner allt, utan presenterar direkt resultatet (kanske jag gjorde något fel i detta steg, men det tror jag inte)

$h\text{'}\left(t\right)=\frac{3V\text{'}\left(t\right)}{\pi r^2\left(t\right)}- \frac{6r\text{'}\left(t\right)V\left(t\right)}{\pi r^3\left(t\right)}$

Vi vet dessutom att

$\frac{r\left(t_{max}\right)}{h\left(t_{max}\right)}=\frac{r\left(t\right)}{h\left(t\right)}=\frac{3}{4} \iff r\left(t\right)=\frac{3}{4}h\left(t\right) \Rightarrow r\text{'}\left(t\right)=\frac{3}{4}h\text{'}\left(t\right)$

Nu känner vi alltså till alla variabler, förutom h'(t), som vi löser ut och får

$h\text{'}\left(t\right)=\frac{16V\text{'}\left(t\right)}{9\pi h^2\left(t\right)}=\frac{16·0,1m^3/min}{9\pi ·(4m{)}^2}=\frac{1}{45\pi }m/min$

Enligt facit skall svaret vara $\frac{1}{90\pi }$, alltså avviker mitt svar med en faktor 0,5. Vad har jag gjort för fel?