Derivering

Plugghingsten skrev:

Hur bör jag gå tillväga för att derivera ${\sin }^2\left(x\right)$?

Enklast är att se uttrycket som en sammansatt funktion och använda kedjeregeln.

Ett alternativ är att skriva uttrycket som sin(x)*sin(x) och använda formeln för derivata av en produkt.

Plugghingsten skrev:

...

Jag hittade på internet "kedjeregeln" och att för denna uppgift så ska jag tänka $\left(u^n\right)\text{'}=nu\text{'}{u}^{n-1}$ där $n=2, u\text{'}=\cos \left(x\right), u^{n-1}=\sin \left(x\right)$. alltså blir allt $\sin \left(2x\right)$ m.h.a. formelsamlingen. Men hur ska jag veta första formeln? Det är helt omöjligt ju?

Det stämmer.

En annan formulering av samma sak är att identifiera den "inre funktionen" som är $u(x)=sin(x)$ och den "yttre funktionen" som är $f(u)=u^2$.

Derivatan av den sammansatta funktionen blir då $\frac{df}{du}\cdot\frac{du}{dx}$

Du kan läsa mer om detta här.

Svaret på din fråga är att du efter ett tag kommer att lära dig att direkt se vad som är yttre respektive inre funktion.

Det är samma sak som att det i början är "omöjligt" att till exempel se hur ett uttryck ska faktoriseras och förenklas, men att övning ger färdighet.