deriverbarhet och kontinuitet

Susanne123 skrev:

Frågan lyder:

Antag att funktionen f uppfyller att |f(x)| ≤ x^2  för alla x. Måste då f
vara kontinuerlig i origo? Måste f vara deriverbar i origo? Måste f vara två gånger
deriverbar i origo?

Har kommit fram till: Ja, ja, nej. F måste vara kontinuerlig i origo då |f(0)| ≤ 0^2 endast då f(0)=0. Vet dock inte hur jag ska förklara att f måste vara deriverbar i origo (för att få alla poäng på uppgiften). 

Skriv inte F om du menar f, F(x) brukar betyda en primitiv funktion till f(x). Man kan inte låta en mening börja med f(x), utan man måste formulera om sig (det är samma sak med ordet pH-värde, man kan inte låta en mening börja med det ordet!).

Ditt svar på a är korrekt men motiveringen förstår jag inte.

vad gäller deriverbarhet i origo så får du titta på definitionen av deriverbarhet.

två gånger deriverbarhet behöver du bara hitta ett motexempel

Att funktionen f är deriverbar i origo $\iff$ _{$f\text{'}\left(0\right)=li{m}_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f\left(0\right)}{h}=li{m}_{h\to 0}\frac{f\left(h\right)-0}{h}=li{m}_{h\to 0}\frac{f\left(h\right)}{h}$}

f'(0)=0 för att |f(x)| ≤ x^2 då derivatan av x^2 då x=0 är 0?

Jag förstår inte riktigt.

För att det ska bli tydligt behöver du utnyttja olikheten i gränsvärdesberäkningen.

jag skulle använda instängningssatsen och beräkna vänster och högergränsvärdet var för sig

Menar du att $0\le \left|f\left(x\right)\right|\le x^{2 }$och att $li{m}_{x\to 0}0=li{m}_{x\to 0}{x}^2=0\Rightarrow$gränsvärdet då x går mot 0 i |f(x)|=0 ?

Det går att göra på flera sätt men det där ser ut som en bra ansats

Kanske ännu enklare med

-x^2<f(x)<x^2

och sedan utnyttja instängning. Det är på a alltså.

på b får du dela alla tre led med x

stort tack för hjälpen:)