deriverbarhet medför kontinuitet

Jag ska föra fram ett bevis för att deriverbarhet medför kontinuitet, men fastnar lite på det.

Såhär har jag gjort:

Antag att f är deriverbar. Vi vill visa att f(a+h)->f(a) då h->0 för alla a i definitionsmängden.

Detta kan även skrivas som f(a+h)-f(a)->0 -ll-.

Då gäller f(a+h)-f(a)= $\frac{f (a + h) - f (a)}{h} \times h$ ->0 då h->0.

V.S.B

Men nu känns det snarare som att kontinuitet medför deriverbarhet och inte tvärtom. Finns det något i beviset som säger att deriverbarhet medför kontinuitet? Har jag tänkt fel?

Tacksam för hjälp!

För att en funktion skall vara deriverbar, krävs att den är kontinuerlig och att funktionen har samma höger- och vänsterderivata i varje punkt. Alltså ingår det i förutsättningarna att en funktion är kontinuerlig för att den skall kunna vara deriverbar. (Däremot kan en funktion vara kontinuerlig utan att den är deriverbar, t ex $y=|x|$ .)

Smaragdalena skrev:
För att en funktion skall vara deriverbar, krävs att den är kontinuerlig och att funktionen har samma höger- och vänsterderivata i varje punkt. Alltså ingår det i förutsättningarna att en funktion är kontinuerlig för att den skall kunna vara deriverbar. (Däremot kan en funktion vara kontinuerlig utan att den är deriverbar, t ex $y=|x|$ .)

Tack så mycket!

Hej!

Du vet att funktionen $f$ är deriverbar i punkten $a$ , vilket betyder att gränsvärdet $\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = M$ är ett ändligt tal. Då är det tillåtet att göra följande beräkning:

$\displaystyle\lim_{h\to0} \{f(a+h)-f(a)\} = \lim_{h\to0}\{\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \cdot h\} = \{\text{Har kommer deriverbarheten in}\} = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \cdot \lim_{h\to0} h = M \cdot 0 = 0.$

Räkneregeln

Gränsvärdet av en produkt = Produkt av gränsvärden

gäller endast om de enskilda gränsvärdena i produkten är ändliga.

Albiki skrev:
Hej!
Du vet att funktionen $f$ är deriverbar i punkten $a$ , vilket betyder att gränsvärdet $\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = M$ är ett ändligt tal. Då är det tillåtet att göra följande beräkning:
$\displaystyle\lim_{h\to0} \{f(a+h)-f(a)\} = \lim_{h\to0}\{\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \cdot h\} = \{\text{Har kommer deriverbarheten in}\} = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \cdot \lim_{h\to0} h = M \cdot 0 = 0.$
Räkneregeln
Gränsvärdet av en produkt = Produkt av gränsvärden
gäller endast om de enskilda gränsvärdena i produkten är ändliga.

Aha! tack så mycket nu fattar jag det :)

Svara

Visa senaste svar