Deriverbarhet

8. Bestäm talen 𝑎 och 𝑏 så att funktionen 𝑓, definierad som

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{3} - x^{2} + a x + b x + 3}{x + 3}, x \neq - 3 \\ 20, x = - 3 \end{cases}$

blir kontinuerlig på hela ℝ. Blir 𝑓 deriverbar i 𝑥 = −3 för dessa värden på 𝑎 och b.

Har fått fram att $\frac{x^{3} - x^{2} + a x + b x + 3}{x + 3}$ kan skrivas som $x^{2} - 4 x - 1$ om f är kontinuerlig på hela R.

Men hur kollar jag om f är deriverbar? Måste derivatan för $x^{2} - 4 x - 1$ då x=-3 vara samma som derivatan för 20 då x =-3 eller räcker det att säga att f(x) = $x^{2} - 4 x - 1$ och den är deriverbar för alla x på R och därför deriverbar i x=-3?

En punkt är deriverbar i a om $\lim_{h \to 0^{+}} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ , dvs. att gränsvärdet existerar i punkten, och är samma oavsett vilket håll vi närmar oss punkten ifrån. Hur ser gränsvärdet ut kring x = -3 för f(x)? :)

Svara