Deriverbarhet

Det är inte korrekt att gränsvärdet av högra faktorn blir 1. Detta eftersom 1/x^b går mot oändligheten då x går mot 0. Sedan, notera att det blir jobbigt med negativa värden på x, säg att $b = \pi$, vad är då funktionens värde om x = -1?

Utan du har ju istället att

$\frac{x^a\sin {\displaystyle \frac{1}{x^b}}}{x}=x^{a-1}\sin \frac{1}{x^b}$

Använd här att

$\left|x^{a-1}\sin \frac{1}{x^b}\right|\le {\left|x\right|}^{a-1}$

Vad händer då a > 1? Då $a \le 1$? Du kan använda ungefär samma idé för kontinuiteten.

Okej. Du använder dig av instängningssatsen. Om a>1 så då är gränsvärdet 0, och då är funktionen deriverbar i x=0. I det andra fallet så går uttrycket mot oändligheten, alltså existerar inget gränsvärde, och funktionen är ej deriverbar i x=0. Rätt?

Tack!

Om du har att a < 1 så kommer $x^{a - 1}\sin(1/x^b)$ inte existera för att det kommer pendla obegränsat. Om $a = 1$ så kommer det bara pendla mellan -1 och 1.

Jag använder inte triangelolikheten, bara att sinus alltid ligger i intervallet [-1, 1].

Notera återigen att funktionsdefinitionen inte blir vettig om inte a och b är reella tal så att potenser av negativa värden blir vettiga.

En sista fråga. När jag bestämmer gränsvärdet m.h.a. instängninssatsen så har jag ju absolutbeloppet av ursprungsuttrycket. Varför stämmer det att

$\underset{x\to 0}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\left|g\left(x\right)\right|$?

Den där likheten stämmer inte i allmänhet, exempelvis om $g(x) = -1$. Då är vänstra gränsvärdet -1 och högra är 1, så alltså är de inte lika.

Utan du kan endast använda instängningen då $a > 1$, för annars har du inte att $|x|^{a - 1}$ går mot 0.

Utan när du har att $a \le 1$ så kolla bara på $x^{a - 1}\sin(1/x^b)$, om $a = 1$ så har du kvar $\sin(1/x^b)$. Vilket saknar gränsvärde. Om $a < 1$ så kommer du ha att $x^{a - 1}$ inte går mot noll, samt att $\sin(1/x^b)$ bara kommer pendla mellan -1 och 1. Så gränsvärdet kan inte existera.