deriverbar/kontinuerlig

Hej

jag har en uppgift där jag behöver hjälp med att förstå hur man ska lösa den:

Låt f(x)= $\{\begin{cases} \frac{x^{2} + 2 x + a}{x - 1}, o m x < 1 \\ \frac{4 e^{x - 1}}{x}, o m x \geq 1 \end{cases}$

a) Är f(x) kontinuerlig för något a?

b) Är f(x) deriverbar för något a?

I boken ser jag att dom endast verkar använda sig av den översta raden för att bestämma om f(x) är kontinuerlig. Där räknade dom fram att om man stoppar in x=1 får vi tillslut a=-3 och kan sedan skriva om ekvationen till $\frac{(x - 1) (x + 3)}{(x - 1)} = x + 3 = 4$ och svaret blir då att om a=-3 är f(x) kontinuerlig i hela R, men varför bryr man sig inte om den undre ekvationen med e? och hur vet vi att den är kontinuerlig om a=-3

Om f ska vara kontinuerlig så måste det gälla att

$\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = f(1)$

Det är bara där x = 1 som är problematisk eftersom i intervallen $(1, \infty)$ och $(-\infty, 1)$ så är den uppenbart kontinuerlig. Vi kan också notera då att bara begränsat till intervallet $[1, \infty)$ så är den också uppenbart kontinuerlig eftersom den är är lika med $\frac{4e^{x - 1}}{x}$ . Så vi behöver bara undersöka vad som händer då $\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x)$ , vilket därför gör att vi bara behöver fokusera på gränsvärdet

$\lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{2} + 2 x + a}{x - 1}$

Hej!

Funktionen $f$ är kontinuerlig för $x=1$ om talet $f(1)$ existerar och högergränsvärdet $\lim_{x\downarrow 1}f(x)$ är lika med vänstergränsvärdet $\lim_{x\uparrow 1} f(x)\ ,$ som är lika med $f(1)\ .$

Högergränsvärdet är lika med

$\lim_{x\downarrow 1}f(x) = \lim_{x \downarrow 1}\frac{4e^{x-1}}{x} = 4.$

Vänstergränsvärdet är lika med

$\lim_{x \uparrow 1}f(x) = \lim_{x\uparrow 1} \frac{x^2+2x+a}{x-1}\ .$

Talet $f(1)$ är definierat och är lika med $4\ .$

För att funktionen $f$ ska vara kontinuerlig för alla $x$ i sin definitionsmängd måste det alltså gälla att

$\lim_{x\uparrow 1} \frac{x^2+2x+a}{x-1} = 4.$

Albiki

okej men om man då sätter a=1 får vi ju $\frac{1^{2} + 2 (1) + a}{1 - 1} = 3 + a = 4, a = 1$

Den där likheten gäller inte, du har ju 0 i nämnaren.

Utan om gränsvärdet ska existera så måste 1 vara en rot till polynomet i täljaren. Därför måste det gälla att $1^2 + 2\cdot 1 + a = 0$ , vilket ger att $a = -3$ . Nu kan du se vad gränsvärdet är då a = -3 för att avgöra om den är kontinuerlig då eller ej.

Du har bortsett från att du dividerar med $0$ .

Tänk istället att för att gränsvärdet ska existera måste faktorn $x-1$ finnas i täljaren, vilken då kan skrivas på formen:

$(x-b)(x-1) = x^2+2x+1 \Rightarrow$

$x^2 +(-b-1)x+b = x^2+2x+a$

Hej!

Om du definierar funktionen g(x) = x^2+2x så kan vänstergränsvärdet skrivas

$4 = \lim_{x\uparrow 1}\frac{g(x)-a}{x-1}.$

Om du väljer $a = g(1) = 3$ så är gränsvärdet lika med derivatan $g'(1)$ , som är lika med talet $2\cdot 1 + 2 = 4,$ vilket stämmer med vänsterledet.

Albiki

Hej igen!

Jag ser att det ska stå $+a$ i täljaren istället för $-a$ som jag skrev, vilket betyder att du ska välja $a=-3.$

Albiki

Svara

Visa senaste svar