Deriverbar i origo?

Om en funktion är deriverbar i en viss punkt, så skall den ha samma derivata om man kommer från höger som från vänster.

Smaragdalena skrev :

Om en funktion är deriverbar i en viss punkt, så skall den ha samma derivata om man kommer från höger som från vänster.

Aha, så du menar alltså såhär för uppgift b) : 

Ja fast du kan inte skriva att $y_2'(0)=1$ eftersom $y_2(x)$ inte är definierad för $x=0$.

Du får istället skriva att $y_2'(x)$ går mot $1$ då $x$ går mot 0 (från höger).

Yngve skrev :

Ja fast du kan inte skriva att $y_2'(0)=1$ eftersom $y_2(x)$ inte är definierad för $x=0$.

Du får istället skriva att $y_2'(x)$ går mot $1$ då $x$ går mot 0 (från höger).

vad menar du, hänger lite halvt med 

detrr skrev :

Yngve skrev :

Ja fast du kan inte skriva att $y_2'(0)=1$ eftersom $y_2(x)$ inte är definierad för $x=0$.

Du får istället skriva att $y_2'(x)$ går mot $1$ då $x$ går mot 0 (från höger).

vad menar du, hänger lite halvt med 

y = x då x > 0.

Det betyder att y' = 1 då x > 0

y har alltså derivatan 1 endast då x är strikt större än 0.

aha så i min beräkning lägger jag till vid y' = 1 då x > 0

men det jag undrar nu är att när man får sådana uppgifter, kan man derivera och undersöka om de har samma derivata, det vill säga lutning? Och om de har det då måste den vara deriverbar? 

Jag skulle däremot säga att du gör rätt i att låta

$y_1(x) = x^2$

$y_2(x) = x$

Sedan konstaterar du att $y_1'(0) = 0$ och $y_2'(0) = 1$. Detta innebär att $y$ inte kan vara deriverbar i x = 0 eftersom de inte är lika. Om de hade varit lika så hade $y$ varit deriverbar där.

Stokastisk skrev :

Jag skulle däremot säga att du gör rätt i att låta

$y_1(x) = x^2$

$y_2(x) = x$

Sedan konstaterar du att $y_1'(0) = 0$ och $y_2'(0) = 1$. Detta innebär att $y$ inte kan vara deriverbar i x = 0 eftersom de inte är lika. Om de hade varit lika så hade $y$ varit deriverbar där.

aha så man kan alltså göra som jag gjorde? 

Ja det kan man. För att motivera lite mer hur jag menar. Att $y$ är deriverbar betyder att

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{y(x+h)-y\left(x\right)}{h}$

är ett existerande gränsvärde för alla $x$. Detta innebär att det måste gälla att

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{y(x+h)-y\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{y(x+h)-y\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{y(x+h)-y\left(x\right)}{h}$

Alltså att vänster och höger gränsvärde måste vara lika för alla x. Att detta är fallet då $x < 0$ är "uppenbart" eftersom där gäller det enbart att $y(x) = x^2$ och att det är så då $x > 0$ är också uppenbart eftersom då är $y(x) = x$. Det är däremot inte självklart vid $x = 0$. Men där kan vi notera att om

$y_1(x) = x^2$

$y_2(x) = x$

så gäller det att

$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{y\left(h\right)-y\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{y_2\left(h\right)-y_2\left(0\right)}{h}=y_2^{\text{'}}\left(0\right)$

samt att

$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{y\left(h\right)-y\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{y_1\left(h\right)-y_1\left(0\right)}{h}=y_1^{\text{'}}\left(0\right)$

Så vänster och höger gränsvärde är lika om det gäller att $y_2^'(0) = y_1^'(0)$ och då finns derivatan för $y$ i $x = 0$. Om de inte är lika så är inte höger och vänster gränsvärde lika och därmed existerar inte heller derivatan.

En viktig sak att notera här också är att jag använder att $y_1(0) = y(0) = y_2(0)$, detta måste också gälla om derivatan ska existera.

okej jag fattar :) tack