Derivera y=a^x "utan" deriveringsregler

Jag försöker att derivera $y=a^x$ utan att använda deriveringsregeln $y=a^x y\text{'}=a^x\times \ln \left(a\right)$

Så här gör jag: $y=a^x=e^{ x\times \ln \left(a\right)}$

$$\begin{gathered} y\text{'}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{(x+h)\ln \left(a\right)}-e^{\left(x\right)\ln \left(a\right)}}{h}=e^{x\times \ln \left(a\right)}\times \underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{h\times \ln \left(a\right)}-1}{h} \\ = {\left(e^{\ln \left(a\right)}\right)}^x\times \underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(e^{\ln \left(a\right)}\right)}^h-1}{h}=a^x\times \underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^h-1}{h} \end{gathered}$$

Mitt riktiga problem är att jag endast via miniräknare kan se att $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^h-1}{h}=\ln \left(a\right)$ men jag har inget bevis för det. Finns det något sätt att bevisa detta? Finns det ett enklare sätt som inte bara tar för givet att$y=e^{kx} y\text{'}=k\times e^{kx}$?