Derivera x^(5 sin (x))

börja med att använda e^[lna]=a

Ska jag tänka att $e^{\ln \left(x\right)}=x$, menar du?

Nej, y =(e^lnx)^5sin(x) = e^5sinxlnx.

Ja, precis, jag skrev fel i basen, har rättat det nu.

Då har vi funktionen

$f\left(x\right)=e^{5\sin \left(x\right)·\ln \left(x\right)}$

som ska deriveras.

Hur ska jag tänka kring inre och yttre derivata?

Är det kedjeregeln som ska användas?

Jag tänker mig att den inre funktionen nu är $\ln \left(x\right)·5\sin \left(x\right)$och att jag behöver derivera denna för sig.

Hur kommer jag vidare?

Produktregeln på inre derivatan.

När jag använt produktregeln på den inre derivatan får jag

$$\begin{gathered} y=\ln \left(x\right)·5\sin \left(x\right) \\ y\text{'}=5\left(\frac{\sin \left(x\right)}{x}\right)+\ln \left(x\right)·\cos \left(x\right)). \end{gathered}$$

Eftersom vi för den yttre funktionen har att $y=x^{5\sin \left(x\right)}=e^{\ln \left(x\right)·5\sin \left(x\right)}$

och att vi vet att derivatan av $e^x$ är $e^x$,

Så kan vi uttrycka derivatan av $x^{5\sin \left(x\right)}$ som $e^x$, där x är hela uttrycket i exponenten (5sin(x)), multiplicerat med den inre derivatan som vi just tagit fram:

$f\text{'}\left(x\right)=x^{5\sin \left(x\right)}·5(\frac{\sin \left(x\right)}{x}+\ln (x\left)\cos \right(x\left)\right).$

Jag väljer att sätta 5 allra först och skriver 

$\mathit{f}\mathbf{\text{'}}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{5}{\mathit{x}}^{\mathbf{5}\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}}\mathbf{(}\frac{\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}}{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathit{l}\mathit{n}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{\left)}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\right(}\mathit{x}\mathbf{\left)}\mathbf{\right)}\mathbf{.}$