Derivera talet e^x, Vad betyder C?

Du har helt rätt: $C$ står i det här fallet för en godtycklig konstant.

Poängen är alltså att varje funktion $f$ som kan skrivas på formen $f(x)={\color{Orange}C}e^x$, för någon konstant $C$, har egenskapen att den är lika med sin egen derivata. 

Till exempel så ger $f(x)={\color{Orange}5}e^x$ att $f'(x)={\color{Orange}5}e^x$, och likaså ger $g(x)={\color{Orange}-3}e^x$ att $g'(x)={\color{Orange}-3}e^x$.

Man kan dessutom visa att funktionerna på formen $Ce^x$ är de enda funktionerna med egenskapen att funktion och derivata sammanfaller. Det finns alltså inga fler! (Kolla gärna upp beviset i din mattebok eller på internet, om du inte redan kan det.)

Precis, det betyder konstant som alltså ett tal som står multiplicerat med framför. Anledningen att vi måste ha med den är för att de vill att du ska ange alla funktioner där derivatan ser likadan ut som funktionen.

När du deriverar en funktion så påverkas inte konstanten eftersom den inte beror av x, utan den "följer bara med" i derivatan.

Alltså 

f(x)= $e^x$ --> f´(x)=$e^x$

f(x)=$2e^x$--> f´(x)=$2e^x$

f(x)= $3e^x$--> f´(x)=$3e^x$

f(x)=4$e^x$--> f´(x)=$4e^x$

o.s.v. 

Vi kan se att detta gäller(att derivatan blir samma som funktionen) oavsett vilken konstant jag sätter framför $e^x$

Som du märker går det inte att räkna upp alla dessa för de är oändligt många. Men genom att skriva $C{e}^x$där C kan vara vilken konstant som helst så har vi lyckats ange allihopa på ett fint kortfattat sätt.

Tack, tack och tack!!