Derivera polärt

Behöver lite hjälp med a och c. I a vet jag inte hur jag ska derivera för att få fram rätt. I c tror jag det finns ett sätt att få fram det i och minuset som saknas, men hur?

Uppgift a)

Hur skulle $x_{r} = r_{x} = \cos (θ)$ kunna stämma? Gör så här istället:

$u_{r} = u_{x} \cos (θ) + u_{y} \sin (θ) \Leftrightarrow u_{x} = \frac{u_{r}}{\cos (θ)} - \frac{u_{y} \sin (θ)}{\cos (θ)} u_{θ} = - u_{x} r \sin (θ) + u_{y} r \cos (θ) \Leftrightarrow u_{y} = \frac{u_{θ}}{r \cos (θ)} + \frac{u_{x} \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Bestäm nu $u_{x}$ från dessa två relationer. Gör sedan likadant med $u_{y}$ .

Vidare lösning

Detta ger:

$u_{x} = \frac{u_{r}}{\cos (θ)} - \frac{u_{θ} \sin (θ)}{r \cos^{2} (θ)} - \frac{u_{x} \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} u_{x} (1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}) = \frac{u_{r}}{\cos (θ)} - \frac{u_{θ} \sin (θ)}{r \cos^{2} (θ)} u_{x} = u_{r} \cos (θ) - u_{θ} \frac{\sin (θ)}{r}$

Uppgift c)

Här knasar du till det en aning och sätter $\sin (θ) + i \cos (θ) = e^{i θ}$ , stämmer det verkligen? Om vi analyserar det närmre får vi:

$\sin (θ) + i \cos (θ) = i (\cos (θ) - i \sin (θ)) = i e^{- i θ}$

Vidare lösning

Ditt nästa sista steg blir då alltså:

$f' (z) = u_{r} e^{- i θ} - i \frac{u_{θ}}{r} e^{- i θ} = (u_{r} - i \frac{u_{θ}}{r}) e^{- i θ}$

Vilket med substitutionen $u_{r} = \frac{v_{θ}}{r}$ ger:

$f' (z) = (v_{θ} - i u_{θ}) \frac{e^{- i θ}}{r}$

Tack 😃

Svara